أكملحاسبة مربعة

كيف يعمل إكمال الآلة الحاسبة المربعة

لاستخدام حاسبة إكمال المربع، أدخل المعاملات الثلاثة a وb وc من المعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0. وتقوم الآلة الحاسبة بإجراء 5 عمليات:

1. اقسم جميع الحدود على المعامل الرئيسي أ، إذا كان ≠ 1.
2. انقل الحد الثابت إلى الجانب الأيمن من المعادلة.
3. احسب (b/2a)² وأضف القيمة إلى كلا الطرفين.
4. قم بتحليل الجانب الأيسر إلى مربع كامل ذي الحدين (x + b/2a)².
5. أعد كتابة المعادلة في صيغة قمة الرأس a(x − h)² + k، حيث h = −b/(2a) و k = c − b²/(4a).

تعرض حاسبة إكمال المربع كل تحويل جبري كخطوة مرقمة. تعمل لوحة قماشية هندسية على تحريك نموذج المنطقة - حيث تقسم المستطيل bx، وتعيد ترتيب النصفين على شكل حرف L، وملء مربع الزاوية المفقود (b/2a)² لتكوين مربع كامل. ترسم علامة تبويب الرسم البياني للقطع المكافئ المنحنى الناتج مع تحديد الرأس والجذور ومحور التماثل.

أكمل الصيغة المربعة

تُحوّل الصيغة المربعة الكاملة ax² + bx + c إلى شكل رأسي من خلال هويتين أساسيتين:

هذه الهوية تخلق ثلاثية حدود مربعة كاملة على اليسار. بالنسبة للمعادلة التربيعية العامة ax² + bx + c، فإن إكمال صيغة المربع ينتج:

يقع الرأس عند h = −b/(2a) و k = c − b²/(4a). محور التماثل هو الخط الرأسي x = h. يحدد المميز Δ = b² − 4ac عدد الجذور ونوعها: Δ > 0 يعطي جذرين حقيقيين مختلفين، Δ = 0 يعطي جذرًا واحدًا متكررًا، وΔ < 0 يعطي جذرين مترافقين معقدين.

أكمل الأمثلة المربعة

مثال 1: x² + 6x + 5 = 0

1. المعامل الرئيسي a = 1، لذلك لا حاجة للقسمة.
2. انقل الثابت: x² + 6x = −5.
3. نصف b هو 6/2 = 3. قم بتربيع النتيجة: 3² = 9. أضف 9 إلى كلا الطرفين: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
4. العامل: (س + 3)² = 4.
5. صيغة قمة الرأس: (x + 3)² − 4. قمة الرأس: (−3, −4). الجذور: x = −3 ± 2، لذا x = −1 و x = −5.

مثال 2: 2x² + 8x + 3 = 0

1. القسمة على أ = 2: x² + 4x + 1.5 = 0.
2. ثابت الحركة: x² + 4x = −1.5.
3. نصف 4 هو 2. المربع: 2² = 4. أضف 4: x² + 4x + 4 = −1.5 + 4 = 2.5.
4. العامل: (س + 2)² = 2.5.
5. اضرب في 2: 2(x + 2)² − 5. قمة الرأس: (−2, −5). الجذور: x = −2 ± √(2.5) ≈ −0.42 و −3.58.

مثال 3: x² − 4x + 4 = 0

1. أ = 1، لا حاجة للتقسيم.
2. ثابت الحركة: x² − 4x = −4.
3. نصف −4 هو −2. المربع: (−2)² = 4. أضف 4: x² − 4x + 4 = 0.
4. العامل: (س − 2)² = 0.
5. شكل قمة الرأس: (س − 2)². قمة الرأس: (2، 0). جذر واحد متكرر: x = 2. المميز Δ = 0.

ما هو استكمال الساحة؟

إكمال المربع هو طريقة جبرية تعيد كتابة التعبير التربيعي ax² + bx + c كمربع كامل ذو حدين بالإضافة إلى ثابت، في الصورة a(x − h)² + k.تعمل الطريقة عن طريق إضافة وطرح القيمة (b/(2a))² داخل التعبير. هذه القيمة "تكمل" المربع - فهي تملأ الفجوة اللازمة لتكوين ثلاثية حدود مربعة مثالية والتي تدخل في ذات الحدين المربعة.

يخدم إكمال المربع أربعة أغراض رئيسية في الجبر وحساب التفاضل والتكامل:

• تحويل النموذج القياسي إلى شكل قمة الرأس لرسم القطع المكافئة بيانيا.
• اشتق الصيغة التربيعية x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
• حل المعادلات التربيعية التي تقاوم التحليل القياسي، بما في ذلك المعادلات ذات المعاملات غير النسبية أو الجذور المترافقة المعقدة.
• أعد كتابة معادلات القطع المخروطي (الدوائر، القطع الناقص، القطع الزائدة) في شكل قياسي أثناء خطوات تكامل حساب التفاضل والتكامل وقبل رسم القطع المكافئة بيانيًا.

مصطلح "إكمال المربع" يأتي من الهندسة. تمثل المعادلة التربيعية x² + bx مربعًا (مساحة x²) مرتبطًا بمستطيل (مساحة bx). يؤدي تقسيم المستطيل وإعادة ترتيب النصفين إلى إنشاء شكل حرف L مع زاوية مفقودة. ملء الزاوية - إضافة (ب/2)² - يكمل المربع الكامل (س + ب/2)².

كيفية إكمال المربع

لإكمال مربع ax² + bx + c، اتبع الخطوات الخمس التالية:

1. أخرج المعامل الرئيسي أمن الحدين x² وx، إذا كان a ≠ 1. اكتب a(x² + (b/a)x) + c.
2. أوجد نصف معامل x.معامل x داخل الأقواس هو b/a. نصف ب/أ هو ب/(2أ).
3. قم بتربيع نصف المعامل.حساب (ب/(2أ))² = ب²/(4أ²).
4. إضافة وطرح القيمة التربيعيةداخل الأقواس: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
5. عامل ثلاثي الحدود المربع الكاملوبسطها: ا(س + ب/(2أ))² + ج − ب²/(4أ). هذه هي صيغة الرأس a(x − h)² + k، حيث h = −b/(2a) و k = c − b²/(4a).

يؤدي إكمال عملية المربع خطوة بخطوة إلى تحديد الرأس الدقيق (h, k)، ومحور التماثل x = h، والاتجاه الذي يفتحه القطع المكافئ (لأعلى عندما يكون a > 0، ولأسفل عندما يكون a <0).

إكمال المربع عندما لا يساوي 1

يتطلب إكمال المربع عندما لا يكون a يساوي 1 خطوة إضافية واحدة في البداية: قسمة كل حد على a، أو عامل a من أول حدين. بالنسبة للمعادلات التربيعية غير الأحادية مثل 3x² − 12x + 7، تعمل العملية كما يلي:

1. أخرج a = 3 من حدود x² وx: 3(x² − 4x) + 7.
2. نصف −4 هو −2. المربع: (−2)² = 4.
3. جمع وطرح 4 داخل الأقواس: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
4. عامل ثلاثية الحدود ووزعها: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.

قمة الرأس: (2، −5). ينفتح القطع المكافئ للأعلى لأن a = 3 > 0. عندما يكون المعامل الرئيسي سالبًا، ينفتح القطع المكافئ للأسفل ويكون الرأس نقطة عظمى بدلًا من نقطة صغرى.

خطأ شائع: نسيان ضرب القيمة المطروحة في a عند نقل حد التصحيح خارج القوسين. في المثال أعلاه، يصبح −4 داخل الأقواس −12 (وليس −4) بعد توزيع العامل 3.

إكمال المربع عندما يكون b يساوي 0

إكمال المربع عندما يكون b يساوي 0 ينتج الحالة الأبسط. لا يوجد حد خطي للمحور التربيعي² + c، لذا لا يلزم إكمال المربع. المعادلة موجودة بالفعل في شكل رأسي: a(x − 0)² + c.

الرأس عند (0, c)، ومحور التماثل هو x = 0 (المحور y). الجذور، إن وجدت، هي x = ±√(−c/a). توجد الجذور الحقيقية عندما يكون −c/a ≥ 0. على سبيل المثال، x² − 9 = 0 لها جذور x = ±3 لأن −(−9)/1 = 9 و√9 = 3.

عندما يكون b = 0 و c > 0 مع a > 0، يكون المميز Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0، وتكون للمعادلة جذور مترافقة معقدة: x = ±i√(c/a).

هل يمكنك دائمًا إكمال المربع؟

نعم، إكمال المربع يصلح لكل تعبير تربيعي ax² + bx + c حيث a ≠ 0.ولا تعتمد الطريقة على المميز أو إشارة المعاملات أو ما إذا كانت الجذور حقيقية أم معقدة. إكمال المربع ينجح من أجل:

• ثلاثية الحدود المربعة المثالية مثل x² + 6x + 9 = (x + 3)².
• المعادلات التي ليس لها جذور حقيقية، مثل x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4، حيث الجذور معقدة: x = −1 ± 2i.
• المعادلات ذات المعاملات غير النسبية أو القيم الكسرية، بما في ذلك سيناريوهات حاسبة إكمال المربع بالكسور مثل x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4.
• المعادلات ذات المعامل الرئيسي السالب مثل −2x² + 8x − 3.

القيد الوحيد هو ≠ 0. عندما يكون a = 0، يصبح التعبير خطيًا (bx + c) وليس تربيعيًا.

أكمل الخطوات المربعة

أكمل الخطوات المربعة لتحويل أي معادلة تربيعية من الصيغة القياسية إلى الصيغة الرأسية. فيما يلي الإجراء الكامل لـ ax² + bx + c:

الرأس هو (h, k) حيث h = −b/(2a) وk = c − b²/(4a). محور التماثل هو الخط الرأسي x = h.

إكمال المربع: 5 خطوات سهلة

أكمل المربعات خطوة بخطوة باستخدام هذه الطريقة المبسطة للمعادلات التربيعية القياسية (عندما يكون a = 1):

1. اكتب المعادلةمثل x² + bx = −c (انقل الثابت إلى الجانب الأيمن).
2. نصف معامل x:حساب ب/2.
3. تربيع النتيجة:حساب (ب/2)².
4. أضف (ب/2)² إلى كلا الجانبينالمعادلة: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
5. عامل الجانب الأيسركـ (x + b/2)² وحل من أجل x: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).

بالنسبة لـ x² + 10x + 21 = 0: تحرك 21 → x² + 10x = −21. نصف 10 = 5. المربع: 25. أضف: x² + 10x + 25 = 4. العامل: (x + 5)² = 4. الجذور: x = −5 ± 2، يعطينا x = −3 و x = −7.

أكمل الصيغة المربعة مقابل الصيغة التربيعية

الصيغة التربيعية x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) مشتقة مباشرة من إكمال المربع. كلتا الطريقتين تحلان كل معادلة تربيعية، لكنهما تخدمان أغراضًا مختلفة:

استخدم طريقة إكمال المربع عندما يكون الهدف هو إيجاد صيغة الرأس، أو رسم قطع مكافئ، أو تحويل معادلات المقطع المخروطي إلى صيغة قياسية، أو حل مسائل التحسين. استخدم الصيغة التربيعية عندما يكون الهدف هو إيجاد الجذور بسرعة دون الحاجة إلى الرأس. توفر حاسبات الجبر المتوفرة على الإنترنت، مثل Wolfram Alpha وSymbolab وMathway وDesmos وGeoGebra كلا الطريقتين. توفر الآلة الحاسبة المربعة الكاملة الموجودة في هذه الصفحة كلاً من تحويل نموذج الرأس والجذور في حل واحد.

أكمل المخطط المربع

يُظهر المخطط المربع الكامل الدليل الهندسي وراء الطريقة الجبرية. يتكون المخطط من 4 مراحل:

1. ابدأ بـ x² + bx.ارسم مربعًا بطول ضلع x (المساحة = x²) ومستطيلًا بأبعاد x × b (المساحة = bx). المساحة الكلية = x² + bx.
2. تقسيم المستطيل.قطع مستطيل bx إلى قطعتين متساويتين، أبعاد كل منهما x × (b/2). مساحة كل قطعة = ب س / 2 .
3. إعادة ترتيبها على شكل حرف L.ضع قطعة واحدة على الجانب الأيمن من المربع x² والأخرى أسفل المربع x². يشكل الترتيب شكل حرف L مع زاوية مفقودة.
4. ملء الزاوية.الزاوية المفقودة هي مربع صغير طول ضلعه ب/2 ومساحته (ب/2)². تؤدي إضافة قطعة الزاوية إلى إكمال مربع أكبر بطول ضلعه (x + b/2) ومساحة إجمالية (x + b/2)².

يوضح الشكل المربع الكامل أن x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². يجعل الدليل الهندسي الجبر مرئيًا - الإجراء "الإكمالي" هو حرفيًا ملء مربع مفقود في الرسم التخطيطي. يقوم قسم الدليل المرئي التفاعلي الموجود أعلى هذه الآلة الحاسبة بتحريك جميع المراحل الأربع بأبعاد محددة.