ЗавершитьКвадратный калькулятор

Как работает калькулятор квадратов

Чтобы воспользоваться заполнением калькулятора квадратов, введите 3 коэффициента a, b и c из квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Калькулятор выполняет 5 операций:

1. Разделите все члены на старший коэффициент a, если a ≠ 1.
2. Переместите постоянный член в правую часть уравнения.
3. Вычислите (b/2a)² и прибавьте значение к обеим частям.
4. Разложите левую часть на совершенный квадратный бином (x + b/2a)².
5. Перепишем уравнение в вершинной форме a(x − h)² + k, где h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a).

При заполнении квадратного калькулятора каждое алгебраическое преобразование отображается как пронумерованный шаг. Холст геометрической проверки анимирует модель области: разбивает прямоугольник bx, переставляет две половины в L-образную форму и заполняет недостающий угловой квадрат (b/2a)², чтобы сформировать полный квадрат. На вкладке графика параболы строится результирующая кривая с помеченными вершинами, корнями и осью симметрии.

Завершите формулу квадрата

Полная формула квадрата преобразует ax² + bx + c в форму вершины с помощью двух основных тождеств:

Это тождество создает идеальный квадратный трехчлен слева. Для общего квадратичного ax² + bx + c завершение формулы квадрата дает:

Вершина расположена в точках h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a). Осью симметрии является вертикальная линия x = h. Дискриминант Δ = b² − 4ac определяет количество и тип корней: Δ > 0 дает 2 различных вещественных корня, Δ = 0 дает 1 повторяющийся корень, а Δ < 0 дает 2 комплексно-сопряженных корня.

Завершите примеры квадратов

Пример 1: x² + 6x + 5 = 0

1. Старший коэффициент a = 1, поэтому деление не требуется.
2. Переместите константу: x² + 6x = −5.
3. Половина b равна 6/2 = 3. Возведите результат в квадрат: 3² = 9. Прибавьте 9 к обеим частям: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
4. Коэффициент: (х + 3)² = 4.
5. Форма вершины: (x + 3)² − 4. Вершина: (−3, −4). Корни: x = −3 ± 2, поэтому x = −1 и x = −5.

Пример 2: 2x² + 8x + 3 = 0

1. Разделите на a = 2: x² + 4x + 1,5 = 0.
2. Константа перемещения: x² + 4x = −1,5.
3. Половина от 4 равна 2. Квадрат: 2² = 4. Сложите 4: x² + 4x + 4 = −1,5 + 4 = 2,5.
4. Коэффициент: (х + 2)² = 2,5.
5. Умножьте обратно на 2: 2(x + 2)² − 5. Вершина: (−2, −5). Корни: x = −2 ± √(2,5) ≈ −0,42 и −3,58.

Пример 3: x² − 4x + 4 = 0

1. а = 1, деление не требуется.
2. Константа перемещения: x² − 4x = −4.
3. Половина от −4 равна −2. Квадрат: (−2)² = 4. Складываем 4: x² − 4x + 4 = 0.
4. Коэффициент: (x − 2)² = 0.
5. Форма вершины: (x − 2)². Вершина: (2, 0). Один повторяющийся корень: x = 2. Дискриминант Δ = 0.

Что такое завершение площади?

Завершение квадрата — это алгебраический метод, который переписывает квадратное выражение ax² + bx + c как идеальный квадратный бином плюс константа в форме a(x − h)² + k.Этот метод работает путем сложения и вычитания значения (b/(2a))² внутри выражения. Это значение «завершает» квадрат — оно заполняет пробел, необходимый для формирования идеального квадратного трехчлена, который превращается в квадратный бином.

Заполнение квадрата служит четырем основным целям в алгебре и исчислении:

• Преобразование стандартной формы в форму вершин для построения графиков парабол.
• Выведите квадратичную формулу x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a).
• Решайте квадратные уравнения, которые не поддаются стандартному факторингу, включая уравнения с иррациональными коэффициентами или комплексно-сопряженными корнями.
• Перепишите уравнения конического сечения (круги, эллипсы, гиперболы) в стандартную форму на этапах интегрирования исчисления и перед построением графиков парабол.

Термин «завершение квадрата» пришел из геометрии. Квадратное число x² + bx представляет собой квадрат (площадь x²), присоединенный к прямоугольнику (площадь bx). Разделение прямоугольника и перестановка половин создает L-образную форму с отсутствующим углом. Заполнение угла — добавление (b/2)² — завершает полный квадрат (x + b/2)².

Как завершить квадрат

Чтобы завершить квадрат ax² + bx + c, выполните следующие 5 шагов:

1. Выбросьте ведущий коэффициент aиз членов x² и x, если a ≠ 1. Напишите a(x² + (b/a)x) + c.
2. Найдите половину коэффициента при х.Коэффициент при x в скобках равен b/a. Половина b/a равна b/(2a).
3. Возведите в квадрат полукоэффициент.Вычислите (b/(2a))² = b²/(4a²).
4. Сложение и вычитание квадрата значениявнутри круглых скобок: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
5. Разложите правильный квадратный трехчлени упростим: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Это форма вершин a(x − h)² + k, где h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a).

Пошаговое завершение процесса возведения квадрата дает точную вершину (h, k), ось симметрии x = h и направление открытия параболы (вверх, когда a > 0, вниз, когда a < 0).

Завершение квадрата, когда a не равно 1

Заполнение квадрата, когда a не равно 1, требует в начале одного дополнительного шага: разделить каждый член на a или вычесть a из первых двух членов. Для немонических квадратичных чисел, таких как 3x² − 12x + 7, процесс работает следующим образом:

1. Вычитаем a = 3 из членов x² и x: 3(x² − 4x) + 7.
2. Половина от −4 равна −2. Квадрат: (−2)² = 4.
3. Прибавьте и вычтите 4 в скобках: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
4. Разложите трехчлен на множители и распределите: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.

Вершина: (2, −5). Парабола открывается вверх, потому что a = 3 > 0. Когда старший коэффициент отрицателен, парабола открывается вниз, и вершина является точкой максимума, а не минимума.

Распространенная ошибка: забыть умножить вычитаемое значение на a при вынесении корректирующего члена за пределы круглых скобок. В приведенном выше примере -4 внутри круглых скобок становится -12 (а не -4) после распределения коэффициента 3.

Завершение квадрата, когда b равно 0

Завершение квадрата, когда b равно 0, дает простейший случай. Квадратное выражение ax² + c не имеет линейного члена, поэтому завершение квадрата не требуется. Уравнение уже имеет вершинную форму: a(x − 0)² + c.

Вершина находится в точке (0, c), а ось симметрии — x = 0 (ось y). Корни, если они существуют, имеют вид x = ±√(−c/a). Настоящие корни существуют, когда −c/a ≥ 0. Например, x² − 9 = 0 имеет корни x = ±3, потому что −(−9)/1 = 9 и √9 = 3.

Когда b = 0 и c > 0 при a > 0, дискриминант Δ = 0² - 4ac = -4ac < 0, и уравнение имеет 2 комплексно-сопряженных корня: x = ±i√(c/a).

Всегда ли вы можете завершить квадрат?

Да, завершение квадрата работает для любого квадратичного выражения ax² + bx + c, где a ≠ 0.Метод не зависит от дискриминанта, знака коэффициентов, вещественных или комплексных корней. Завершение квадрата является успешным для:

• Совершенные квадратные трехчлены, например x² + 6x + 9 = (x + 3)².
• Уравнения без действительных корней, например x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, где корни комплексные: x = −1 ± 2i.
• Уравнения с иррациональными коэффициентами или дробными значениями, включая заполнение квадрата с помощью сценариев калькулятора дробей, таких как x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4.
• Уравнения с отрицательным старшим коэффициентом, например −2x² + 8x − 3.

Единственное ограничение — a ≠ 0. Когда a = 0, выражение становится линейным (bx + c), а не квадратичным.

Завершите квадратные шаги

Полные шаги по квадрату преобразуют любой квадрат из стандартной формы в форму вершины. Вот полная процедура для ax² + bx + c:

Вершина — это (h, k), где h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a). Осью симметрии является вертикальная линия x = h.

Завершение квадрата: 5 простых шагов

Заполните квадраты шаг за шагом, используя этот упрощенный метод для стандартных квадратичных чисел (когда a = 1):

1. Напишите уравнениекак x² + bx = −c (переместим константу вправо).
2. Уменьшите коэффициент x вдвое:вычислить b/2.
3. Возведите результат в квадрат:вычислить (b/2)².
4. Добавьте (b/2)² к обеим сторонамуравнения: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
5. Фактор левой стороныкак (x + b/2)² и найдите x: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).

Для x² + 10x + 21 = 0: переместите 21 → x² + 10x = −21. Половина 10 = 5. Квадрат: 25. Сложить: x² + 10x + 25 = 4. Фактор: (x + 5)² = 4. Корни: x = −5 ± 2, что дает x = −3 и x = −7.

Завершите формулу квадрата и квадрата.

Квадратная формула x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) получается непосредственно в результате завершения квадрата. Оба метода решают все квадратные уравнения, но служат разным целям:

Используйте метод полного квадрата, когда цель состоит в том, чтобы найти форму вершины, построить график параболы, преобразовать уравнения конического сечения в стандартную форму или решить задачи оптимизации. Используйте квадратичную формулу, если целью является быстрое нахождение корней без необходимости использования вершины. Онлайн-калькуляторы алгебры, такие как Wolfram Alpha, Symbolab, Mathway, Desmos и GeoGebra, предлагают оба метода. Полный калькулятор квадратов на этой странице обеспечивает преобразование формы вершин и получение корней за одно решение.

Завершите квадратную диаграмму

Полная квадратная диаграмма показывает геометрическое доказательство алгебраического метода. Схема имеет 4 этапа:

1. Начните с x² + bx.Нарисуйте квадрат со стороной x (площадь = x²) и прямоугольник размерами x × b (площадь = bx). Общая площадь = x² + bx.
2. Разделите прямоугольник.Разрежьте прямоугольник bx на 2 равные части, каждая размером x × (b/2). Площадь каждого куска = bx/2.
3. Переставьте в L-образную форму.Поместите одну часть справа от квадрата x², а другую — под квадратом x². Композиция образует L-образную форму с отсутствующим углом.
4. Заполните угол.Недостающий угол представляет собой небольшой квадрат со стороной b/2 и площадью (b/2)². Добавление углового элемента образует больший квадрат с длиной стороны (x + b/2) и общей площадью (x + b/2)².

Полная квадратная диаграмма доказывает, что x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². Геометрическое доказательство делает алгебру видимой — «завершающее» действие буквально заполняет недостающий квадрат на диаграмме. Интерактивный раздел визуального доказательства над калькулятором анимирует все 4 этапа с помеченными размерами.