Завършете TheКвадрат калкулатор

Как работи попълването на квадратния калкулатор

За да използвате калкулатора за попълване на квадрат, въведете 3-те коефициента a, b и c от квадратно уравнение ax² + bx + c = 0. Калкулаторът извършва 5 операции:

1. Разделете всички членове на водещия коефициент a, ако a ≠ 1.
2. Преместете постоянния член в дясната страна на уравнението.
3. Изчислете (b/2a)² и добавете стойността към двете страни.
4. Разложете лявата страна на бином на перфектен квадрат (x + b/2a)².
5. Пренапишете уравнението във върхова форма a(x − h)² + k, където h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a).

Завършващият квадратен калкулатор показва всяка алгебрична трансформация като номерирана стъпка. Геометрично доказателствено платно анимира модела на площта — разделяйки bx правоъгълника, пренареждайки двете половини в L-образна форма и запълвайки липсващия ъглов квадрат (b/2a)², за да образува пълен квадрат. Разделът на графиката на параболата начертава получената крива с отбелязани връх, корени и ос на симетрия.

Попълнете квадратната формула

Пълната квадратна формула трансформира ax² + bx + c във форма на върха чрез 2 основни идентичности:

Тази идентичност създава перфектен квадратен тричлен отляво. За общ квадратичен ax² + bx + c, завършването на квадратната формула дава:

Върхът се намира при h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a). Оста на симетрия е вертикалната права x = h. Дискриминантът Δ = b² − 4ac определя броя и вида на корените: Δ > 0 дава 2 различни реални корена, Δ = 0 дава 1 повторен корен и Δ < 0 дава 2 комплексно спрегнати корена.

Попълнете квадратните примери

Пример 1: x² + 6x + 5 = 0

1. Водещият коефициент a = 1, така че не е необходимо деление.
2. Преместете константата: x² + 6x = −5.
3. Половината от b е 6/2 = 3. Повдигнете на квадрат резултата: 3² = 9. Добавете 9 към двете страни: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
4. Фактор: (x + 3)² = 4.
5. Форма на върха: (x + 3)² − 4. Върх: (−3, −4). Корени: x = −3 ± 2, така че x = −1 и x = −5.

Пример 2: 2x² + 8x + 3 = 0

1. Разделете на a = 2: x² + 4x + 1,5 = 0.
2. Константа на движение: x² + 4x = −1,5.
3. Половината от 4 е 2. Квадрат: 2² = 4. Добавете 4: x² + 4x + 4 = −1,5 + 4 = 2,5.
4. Фактор: (x + 2)² = 2,5.
5. Умножете обратно по 2: 2(x + 2)² − 5. Върх: (−2, −5). Корени: x = −2 ± √(2,5) ≈ −0,42 и −3,58.

Пример 3: x² − 4x + 4 = 0

1. a = 1, не е необходимо деление.
2. Константа на движение: x² − 4x = −4.
3. Половината от −4 е −2. Квадрат: (−2)² = 4. Добавете 4: x² − 4x + 4 = 0.
4. Фактор: (x − 2)² = 0.
5. Форма на върха: (x − 2)². Връх: (2, 0). Един повтарящ се корен: x = 2. Дискриминант Δ = 0.

Какво е завършване на площада?

Попълването на квадрата е алгебричен метод, който пренаписва квадратичен израз ax² + bx + c като перфектен квадратен бином плюс константа във формата a(x − h)² + k.Методът работи чрез добавяне и изваждане на стойността (b/(2a))² вътре в израза. Тази стойност „завършва“ квадрата — тя запълва празнината, необходима за образуване на перфектен квадратен трином, който се размножава в квадратен бином.

Попълването на квадрата служи за 4 основни цели в алгебрата и смятането:

• Преобразувайте стандартна форма във форма на върха за изобразяване на параболи.
• Изведете квадратичната формула x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
• Решаване на квадратни уравнения, които се противопоставят на стандартното факторизиране, включително уравнения с ирационални коефициенти или комплексно спрегнати корени.
• Пренапишете уравненията на коничното сечение (кръгове, елипси, хиперболи) в стандартна форма по време на стъпките на интегриране на смятането и преди графично изобразяване на параболи.

Терминът "завършване на квадрат" идва от геометрията. Квадрат x² + bx представлява квадрат (площ x²), прикрепен към правоъгълник (площ bx). Разделянето на правоъгълника и пренареждането на половините създава L-образна форма с липсващ ъгъл. Запълване на ъгъла — добавяне на (b/2)² — завършва пълния квадрат (x + b/2)².

Как да завършите квадрата

За да завършите квадрата за ax² + bx + c, следвайте тези 5 стъпки:

1. Извадете водещия коефициент aот членовете x² и x, ако a ≠ 1. Напишете a(x² + (b/a)x) + c.
2. Намерете половината от коефициента на x.Коефициентът при x в скобите е b/a. Половината от b/a е b/(2a).
3. Повдигнете на квадрат полукоефициента.Изчислете (b/(2a))² = b²/(4a²).
4. Добавете и извадете стойността на квадратвътре в скобите: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
5. Разложете тричлена на идеалния квадрат на множителии опростете: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Това е формата на върха a(x − h)² + k, където h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a).

Стъпка по стъпка завършването на квадратния процес произвежда точния връх (h, k), оста на симетрия x = h и посоката, в която се отваря параболата (нагоре, когато a > 0, надолу, когато a < 0).

Попълване на квадрата, когато a не е равно на 1

Попълването на квадрата, когато a не е равно на 1, изисква 1 допълнителна стъпка в началото: разделете всеки член на a или размножете a от първите 2 члена. За немонични квадрати като 3x² − 12x + 7, процесът работи както следва:

1. Извадете a = 3 от x² и x членове: 3(x² − 4x) + 7.
2. Половината от −4 е −2. Квадрат: (−2)² = 4.
3. Съберете и извадете 4 в скобите: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
4. Разложете тринома на множители и разпределете: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.

Върх: (2, −5). Параболата се отваря нагоре, защото a = 3 > 0. Когато водещият коефициент е отрицателен, параболата се отваря надолу и върхът е максимална точка вместо минимална.

Често срещана грешка: забравяте да умножите извадената стойност по a, когато премествате коригиращия член извън скобите. В горния пример, −4 в скобите става −12 (не −4) след разпределяне на коефициента 3.

Попълване на квадрата, когато b е 0

Попълването на квадрата, когато b е 0, води до най-простия случай. Квадратната ax² + c няма линеен член, така че не е необходимо квадратно завършване. Уравнението вече е във върхова форма: a(x − 0)² + c.

Върхът е в (0, c), а оста на симетрия е x = 0 (оста y). Корените, ако съществуват, са x = ±√(−c/a). Реални корени съществуват, когато −c/a ≥ 0. Например x² − 9 = 0 има корени x = ±3, защото −(−9)/1 = 9 и √9 = 3.

Когато b = 0 и c > 0 с a > 0, дискриминантът Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0 и уравнението има 2 комплексно спрегнати корена: x = ±i√(c/a).

Можете ли винаги да завършите квадрата?

Да, попълването на квадрата работи за всеки квадратичен израз ax² + bx + c, където a ≠ 0.Методът не зависи от дискриминанта, знака на коефициентите или дали корените са реални или комплексни. Завършването на квадрата е успешно за:

• Перфектни квадратни тричлени като x² + 6x + 9 = (x + 3)².
• Уравнения без реални корени, като x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, където корените са комплексни: x = −1 ± 2i.
• Уравнения с ирационални коефициенти или дробни стойности, включително попълване на квадрат със сценарии за калкулатор на дроби като x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4.
• Уравнения с отрицателен водещ коефициент като −2x² + 8x − 3.

Единственото ограничение е a ≠ 0. Когато a = 0, изразът става линеен (bx + c) и не е квадратен.

Завършете квадратните стъпала

Пълните квадратни стъпки преобразуват всеки квадрат от стандартна форма във форма на връх. Ето пълната процедура за ax² + bx + c:

Върхът е (h, k), където h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a). Оста на симетрия е вертикалната права x = h.

Завършване на квадрата: 5 лесни стъпки

Попълнете квадрати стъпка по стъпка, като използвате този опростен метод за стандартни квадрати (когато a = 1):

1. Напишете уравнениетокато x² + bx = −c (преместете константата в дясната страна).
2. Намалете наполовина x-коефициента:изчислете b/2.
3. Квадратирайте резултата:изчислете (b/2)².
4. Добавете (b/2)² към двете странина уравнението: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
5. Факторирайте лявата странакато (x + b/2)² и решете за x: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).

За x² + 10x + 21 = 0: преместете 21 → x² + 10x = −21. Половината от 10 = 5. Квадрат: 25. Добавете: x² + 10x + 25 = 4. Разложете на множител: (x + 5)² = 4. Корени: x = −5 ± 2, което дава x = −3 и x = −7.

Попълнете формулата квадрат срещу квадрат

Квадратната формула x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) се извлича директно от попълването на квадрата. И двата метода решават всяко квадратно уравнение, но служат за различни цели:

Използвайте пълния квадратен метод, когато целта е да намерите формата на върха, да начертаете парабола, да преобразувате уравнения на конично сечение в стандартна форма или да решите задачи за оптимизация. Използвайте квадратната формула, когато целта е бързо намиране на корени, без да се нуждаете от върха. Онлайн калкулатори за алгебра като Wolfram Alpha, Symbolab, Mathway, Desmos и GeoGebra предлагат и двата метода. Пълният квадратен калкулатор на тази страница осигурява както преобразуване на формата на върха, така и корени в едно решение.

Попълнете квадратната диаграма

Пълната квадратна диаграма показва геометричното доказателство зад алгебричния метод. Диаграмата има 4 етапа:

1. Започнете с x² + bx.Начертайте квадрат с дължина на страната x (площ = x²) и правоъгълник с размери x × b (площ = bx). Обща площ = x² + bx.
2. Разделете правоъгълника.Нарежете правоъгълника bx на 2 равни части, всяка с размери x × (b/2). Площ на всяко парче = bx/2.
3. Пренаредете в L-образна форма.Поставете едното парче от дясната страна на квадрата x², а другото под квадрата x². Аранжировката образува L-образна форма с липсващ ъгъл.
4. Запълнете ъгъла.Липсващият ъгъл е малък квадрат с дължина на страната b/2 и площ (b/2)². Добавянето на ъгловата част завършва по-голям квадрат с дължина на страната (x + b/2) и обща площ (x + b/2)².

Пълната квадратна диаграма доказва, че x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². Геометричното доказателство прави алгебрата видима - действието "завършване" буквално запълва липсващ квадрат в диаграмата. Интерактивната секция за визуално доказателство над този калкулатор анимира всичките 4 етапа с етикетирани размери.