二乗計算機の完成の仕組み
二乗補完計算機を使用するには、二次方程式 ax² + bx + c = 0 から 3 つの係数 a、b、c を入力します。計算機は 5 つの演算を実行します。
- a ≠ 1 の場合、すべての項を先頭の係数 a で除算します。
- 定数項を方程式の右側に移動します。
- (b/2a)² を計算し、その値を両側に加算します。
- 左辺を完全平方二項 (x + b/2a)² に因数分解します。
- この方程式を頂点形式 a(x − h)² + k に書き直します。ここで、h = −b/(2a) および k = c − b²/(4a) となります。
平方計算を完了すると、各代数変換が番号付きのステップとして表示されます。 幾何学的プルーフ キャンバスはエリア モデルをアニメーション化します。bx 長方形を分割し、2 つの半分を L 字型に再配置し、欠けている角の正方形 (b/2a)² を埋めて完全な正方形を形成します。 放物線グラフ タブでは、頂点、根、対称軸がラベル付けされた結果の曲線がプロットされます。
平方式を完成させます
完全な二乗公式は、2 つのコア恒等式を通じて ax² + bx + c を頂点形式に変換します。
x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² この恒等式により、左側に完全な平方三項式が作成されます。 一般的な 2 次 ax² + bx + c の場合、二乗公式を完成させると次の結果が得られます。
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) 頂点は h = −b/(2a) および k = c − b²/(4a) に位置します。 対称軸は垂直線 x = h です。 判別式 Δ = b² − 4ac は根の数と種類を決定します。 Δ > 0 は 2 つの異なる実数根を与え、Δ = 0 は 1 つの繰り返し根を与え、Δ < 0 は 2 つの複素共役根を与えます。
正方形の例を完成させる
例 1: x² + 6x + 5 = 0
- 先頭の係数 a = 1 であるため、除算は必要ありません。
- 定数を移動します: x² + 6x = −5。
- b の半分は 6/2 = 3 です。結果を 2 乗します: 3² = 9。両辺に 9 を加算します: x² + 6x + 9 = −5 + 9。
- 因数: (x + 3)² = 4。
- 頂点の形式: (x + 3)² − 4。頂点: (−3、−4)。 ルート: x = −3 ± 2、つまり x = −1 および x = −5。
例 2: 2x² + 8x + 3 = 0
- a = 2 で割ります: x² + 4x + 1.5 = 0。
- 移動定数: x² + 4x = −1.5。
- 4 の半分は 2 です。平方: 2² = 4。4 を足します: x² + 4x + 4 = −1.5 + 4 = 2.5。
- 係数: (x + 2)² = 2.5。
- 2 を掛けて戻します: 2(x + 2)² − 5。頂点: (−2, −5)。 ルート: x = −2 ± √(2.5) ≈ −0.42 および −3.58。
例 3: x² − 4x + 4 = 0
- a = 1、除算は必要ありません。
- 移動定数: x² − 4x = −4。
- -4 の半分は -2 です。 二乗: (−2)² = 4。4 を加算: x² − 4x + 4 = 0。
- 係数: (x − 2)² = 0。
- 頂点の形状: (x − 2)²。 頂点: (2, 0)。 1 つの反復根: x = 2。判別式 Δ = 0。
広場を完成させるとは何ですか?
平方の完成は、二次式 ax² + bx + c を完全平方二項式と定数として a(x − h)² + k の形式で書き直す代数的手法です。このメソッドは、式内の値 (b/(2a))² を加算および減算することによって機能します。 この値は平方を「完成」させます。つまり、平方二項式を因数分解する完全平方三項式を形成するために必要なギャップを埋めます。
正方形を完成させることは、代数と微積分において 4 つの主な目的に役立ちます。
- 放物線をグラフ化するために標準形式を頂点形式に変換します。
- 二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) を導き出します。
- 無理係数や複素共役根を含む方程式など、標準的な因数分解に抵抗のある二次方程式を解きます。
- 微積分ステップ中および放物線をグラフ化する前に、円錐断面方程式 (円、楕円、双曲線) を標準形式に書き直します。
「正方形を完成させる」という用語は幾何学に由来しています。 二次関数 x² + bx は、長方形 (面積 bx) に接続された正方形 (面積 x²) を表します。 長方形を分割し、半分を再配置すると、角が欠けた L 字型が作成されます。 角を埋める ((b/2)² を追加する) と、完全な正方形 (x + b/2)² が完成します。
正方形を完成させる方法
ax² + bx + c の平方を完成するには、次の 5 つの手順に従います。
- 主要な係数 a を因数分解します。a ≠ 1 の場合、x² と x の項から計算します。a(x² + (b/a)x) + c と書きます。
- x の係数の半分を求めます。括弧内の x の係数は b/a です。 b/a の半分は b/(2a) です。
- 半分の係数を二乗します。(b/(2a))² = b²/(4a²) を計算します。
- 二乗値の加算と減算括弧内: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c。
- 完全二乗三項式を因数分解しますそして簡略化します: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a)。 これは頂点形式 a(x − h)² + k です。ここで、h = −b/(2a) および k = c − b²/(4a) です。
正方形のプロセスを段階的に完了すると、正確な頂点 (h, k)、対称軸 x = h、および放物線が開く方向 (a > 0 の場合は上向き、a < 0 の場合は下向き) が生成されます。
a が 1 に等しくない場合の正方形の完成
a が 1 に等しくない場合に平方を完成するには、最初に 1 つの追加のステップが必要です。つまり、すべての項を a で割るか、最初の 2 つの項から a を因数分解します。 3x² − 12x + 7 のような非モニック 2 次式の場合、プロセスは次のように機能します。
- x² および x 項から a = 3 を因数分解します: 3(x² − 4x) + 7。
- -4 の半分は -2 です。 正方形: (−2)² = 4。
- 括弧内の 4 を加算および減算します: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7。
- 三項式を因数分解して分配します: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5。
頂点: (2, −5)。 a = 3 > 0 であるため、放物線は上に開きます。先頭の係数が負の場合、放物線は下に開き、頂点は最小点ではなく最大点になります。
よくあるエラー: 補正項を括弧の外に移動するときに、減算された値に a を掛けるのを忘れます。 上の例では、括弧内の -4 は、係数 3 を分配すると -12 (-4 ではありません) になります。
b が 0 の場合の正方形の完成
b が 0 のときに正方形を完成させると、最も単純なケースが生成されます。 二次関数 ax² + c には線形項がないため、二乗補完は必要ありません。 方程式はすでに頂点形式 a(x − 0)² + c になっています。
頂点は (0, c) にあり、対称軸は x = 0 (y 軸) です。 根が存在する場合、根は x = ±√(−c/a) です。 実根は、−c/a ≥ 0 の場合に存在します。たとえば、−(−9)/1 = 9、√9 = 3 であるため、x² − 9 = 0 の根は x = ±3 になります。
b = 0 および c > 0、a > 0 の場合、判別式 Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0 となり、方程式には 2 つの複素共役根 x = ±i√(c/a) が含まれます。
あなたは常に正方形を完成させることができますか?
はい、平方完成は、a ≠ 0 のすべての二次式 ax² + bx + c で機能します。この方法は、判別式、係数の符号、または根が実数か複素数かに依存しません。 正方形の完成は次の場合に成功します。
- x² + 6x + 9 = (x + 3)² のような完全平方三項式。
- x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 など、実根を持たない方程式。根は複素数です: x = −1 ± 2i。
- x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4 などの分数計算シナリオで平方を完成させるなど、無理係数または分数値を含む方程式。
- −2x² + 8x − 3 のような負の先行係数を持つ方程式。
唯一の制限は、a ≠ 0 です。a = 0 の場合、式は線形 (bx + c) になり、二次式ではなくなります。
スクエアステップを完了する
平方ステップを完了すると、二次方程式が標準形式から頂点形式に変換されます。 ax² + bx + c の完全な手順は次のとおりです。
| ステップ | アクション | 結果 |
|---|---|---|
| 1 | x² および x 項から a を因数分解します | a(x² + (b/a)x) + c |
| 2 | x の係数の半分を求めます | b/(2a) |
| 3 | 半分の係数を二乗する | b²/(4a²) |
| 4 | 括弧内の加算と減算 | a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c |
| 5 | 因数分解して単純化する | a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a) |
頂点は (h, k) です。ここで、h = −b/(2a) および k = c − b²/(4a) です。 対称軸は垂直線 x = h です。
正方形を完成させる: 5 つの簡単なステップ
標準二次方程式のこの簡略化された方法を使用して、段階的に正方形を完成させます (a = 1 の場合)。
- 方程式を書いてくださいx² + bx = −c となります (定数を右側に移動します)。
- x 係数を半分にします。b/2 を計算します。
- 結果を二乗します。(b/2)² を計算します。
- 両辺に (b/2)² を追加します。方程式の式: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)²。
- 左辺を因数分解する(x + b/2)² として計算し、x を解きます: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²)。
x² + 10x + 21 = 0 の場合: 21 → x² + 10x = −21 に移動します。 10 の半分 = 5。平方: 25。加算: x² + 10x + 25 = 4。因数: (x + 5)² = 4。根: x = −5 ± 2、x = −3 および x = −7 となります。
平方式と二次式の公式を完成させる
二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) は、平方完成から直接導出されます。 どちらの方法もすべての二次方程式を解きますが、目的は異なります。
| 特徴 | 広場を完成させる | 二次公式 |
|---|---|---|
| 出力 | 頂点形状＋根元 | 根のみ |
| 頂点 (h, k) | 直接見える | 追加の計算が必要 |
| 根のスピード | 5つのステップ | 交代1名 |
| グラフ作成ユーティリティ | 高 — 頂点の形状を与えます | 低 — 根のみを提供します |
| SAT/ACT利用 | 頂点の質問に必須 | root のみの質問に推奨されます |
| 円錐曲線 | 必須 | 適用できない |
頂点の形状を見つけたり、放物線をグラフ化したり、円錐断面方程式を標準形式に変換したり、最適化問題を解決したりすることが目的の場合は、完全二乗法を使用します。 頂点を必要とせずにルートを迅速に見つけることが目標の場合は、二次公式を使用します。 Wolfram Alpha、Symbolab、Mathway、Desmos、GeoGebra などのオンライン代数計算ツールは、両方の方法を提供します。 このページの完全な平方計算ツールは、1 回の計算で頂点フォームの変換とルートの両方を提供します。
正方形の図を完成させます
完全な正方形の図は、代数的手法の背後にある幾何学的証明を示しています。 この図には 4 つの段階があります。
- x² + bx から始めます。一辺の長さが x (面積 = x²) の正方形と、寸法 x × b (面積 = bx) の長方形を描きます。 総面積 = x² + bx。
- 長方形を分割します。bx 長方形を、それぞれの寸法が x × (b/2) になるように 2 つの等しい部分に切ります。 各ピースの面積 = bx/2。
- L字型に並べ替えます。1 つのピースを x² 正方形の右側に置き、もう 1 つを x² 正方形の下に置きます。 配置は角が欠けた L 字型を形成します。
- 隅を埋めてください。欠けている角は、辺の長さが b/2、面積が (b/2)² の小さな正方形です。 コーナーピースを追加すると、辺の長さ (x + b/2) と総面積 (x + b/2)² の大きな正方形が完成します。
完全な二乗図は、x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² であることを証明します。 幾何学的証明によって代数が可視化されます。「完了」アクションは文字通り、図の欠けている四角形を埋めることです。 この計算機の上にあるインタラクティブな視覚的証明セクションでは、ラベル付きの寸法を使用して 4 つのステージすべてをアニメーション化します。