को पूर्ण करोवर्ग कैलकुलेटर

वर्ग कैलकुलेटर कैसे पूरा करता है काम करता है

पूर्ण वर्ग कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से 3 गुणांक a, b, और c दर्ज करें। कैलकुलेटर 5 ऑपरेशन करता है:

1. यदि a ≠ 1 है, तो सभी पदों को अग्रणी गुणांक a से विभाजित करें।
2. अचर पद को समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ।
3. (b/2a)² की गणना करें और दोनों पक्षों में मान जोड़ें।
4. एक पूर्ण वर्ग द्विपद (x + b/2a)² में बाईं ओर का गुणनखंड करें।
5. शीर्ष रूप में समीकरण को a(x − h)² + k के रूप में फिर से लिखें, जहां h = −b/(2a) और k = c − b²/(4a) है।

वर्ग कैलकुलेटर को पूरा करना प्रत्येक बीजगणितीय परिवर्तन को क्रमांकित चरण के रूप में प्रदर्शित करता है। एक ज्यामितीय प्रमाण कैनवास क्षेत्र मॉडल को एनिमेट करता है - बीएक्स आयत को विभाजित करना, दो हिस्सों को एल-आकार में पुनर्व्यवस्थित करना, और एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए लापता कोने वर्ग (बी/2ए)² को भरना। परवलय ग्राफ़ टैब परिणामी वक्र को शीर्ष, जड़ों और समरूपता के अक्ष के साथ लेबल करता है।

वर्ग सूत्र पूरा करें

पूर्ण वर्ग सूत्र 2 मुख्य पहचानों के माध्यम से ax² + bx + c को शीर्ष रूप में बदल देता है:

यह पहचान बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग त्रिपद बनाती है। एक सामान्य द्विघात ax² + bx + c के लिए, पूर्ण वर्ग सूत्र उत्पन्न करता है:

शीर्ष h = −b/(2a) और k = c − b²/(4a) पर स्थित है। समरूपता का अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा x = h है। विभेदक Δ = b² - 4ac जड़ों की संख्या और प्रकार निर्धारित करता है: Δ > 0 2 अलग-अलग वास्तविक जड़ें देता है, Δ = 0 1 दोहराया जड़ देता है, और Δ < 0 2 जटिल संयुग्म जड़ें देता है।

वर्ग उदाहरण पूरा करें

उदाहरण 1: x² + 6x + 5 = 0

1. अग्रणी गुणांक a = 1, इसलिए किसी विभाजन की आवश्यकता नहीं है।
2. स्थिरांक को स्थानांतरित करें: x² + 6x = −5.
3. b का आधा 6/2 = 3 है। परिणाम का वर्ग करें: 3² = 9। दोनों पक्षों में 9 जोड़ें: x² + 6x + 9 = −5 + 9।
4. गुणनखंड: (x + 3)² = 4.
5. शीर्ष रूप: (x + 3)² − 4. शीर्ष: (−3, −4). मूल: x = −3 ± 2, इसलिए x = −1 और x = −5.

उदाहरण 2: 2x² + 8x + 3 = 0

1. a = 2 से विभाजित करें: x² + 4x + 1.5 = 0.
2. स्थिरांक ले जाएँ: x² + 4x = −1.5.
3. 4 का आधा 2 है। वर्ग: 2² = 4. 4 जोड़ें: x² + 4x + 4 = −1.5 + 4 = 2.5।
4. फ़ैक्टर: (x + 2)² = 2.5.
5. वापस 2 से गुणा करें: 2(x + 2)² − 5. शीर्ष: (−2, −5). जड़ें: x = −2 ± √(2.5) ≈ −0.42 और −3.58.

उदाहरण 3: x² − 4x + 4 = 0

1. ए = 1, कोई विभाजन आवश्यक नहीं है।
2. स्थिरांक को स्थानांतरित करें: x² − 4x = −4.
3. −4 का आधा −2 है। वर्ग: (−2)² = 4. 4 जोड़ें: x² − 4x + 4 = 0.
4. कारक: (x − 2)² = 0.
5. शीर्ष रूप: (x − 2)². शीर्ष: (2, 0)। एक दोहराया गया मूल: x = 2. विभेदक Δ = 0.

वर्ग को पूरा करना क्या है?

वर्ग को पूरा करना एक बीजगणितीय विधि है जो एक द्विघात अभिव्यक्ति ax² + bx + c को एक पूर्ण वर्ग द्विपद और एक स्थिरांक के रूप में a(x − h)² + k के रूप में फिर से लिखती है।यह विधि अभिव्यक्ति के अंदर मान (b/(2a))² को जोड़कर और घटाकर काम करती है। यह मान वर्ग को "पूर्ण" करता है - यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद बनाने के लिए आवश्यक अंतर को भरता है जो एक वर्ग द्विपद में कारक होता है।

वर्ग को पूरा करने से बीजगणित और कलन में 4 मुख्य उद्देश्य पूरे होते हैं:

• परवलयों को रेखांकन करने के लिए मानक रूप को शीर्ष रूप में बदलें।
• द्विघात सूत्र x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) व्युत्पन्न करें।
• द्विघात समीकरणों को हल करें जो मानक फैक्टरिंग का विरोध करते हैं, जिसमें अपरिमेय गुणांक या जटिल संयुग्म जड़ों वाले समीकरण शामिल हैं।
• कैलकुलस एकीकरण चरणों के दौरान और परवलय को रेखांकन करने से पहले शंकु अनुभाग समीकरणों (वृत्त, दीर्घवृत्त, हाइपरबोलस) को मानक रूप में फिर से लिखें।

शब्द "वर्ग पूरा करना" ज्यामिति से आया है। एक द्विघात x² + bx एक आयत (क्षेत्रफल bx) से जुड़े एक वर्ग (क्षेत्रफल x²) को दर्शाता है। आयत को विभाजित करने और हिस्सों को पुनर्व्यवस्थित करने से एक लापता कोने के साथ एक एल-आकार बनता है। कोने को भरना - (b/2)² जोड़ने पर - पूरा वर्ग (x + b/2)² पूरा हो जाता है।

वर्ग कैसे पूरा करें

ax² + bx + c का वर्ग पूरा करने के लिए, इन 5 चरणों का पालन करें:

1. अग्रणी गुणांक a का गुणनखंड करेंx² और x पदों से, यदि a ≠ 1. a(x² + (b/a)x) + c लिखें।
2. x के गुणांक का आधा ज्ञात कीजिए।कोष्ठक के अंदर x का गुणांक b/a है। b/a का आधा भाग b/(2a) है।
3. अर्ध-गुणांक का वर्ग करें.(b/(2a))² = b²/(4a²) की गणना करें।
4. वर्ग मान जोड़ें और घटाएँकोष्ठक के अंदर: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
5. पूर्ण वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करेंऔर सरल बनाएं: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a)। यह शीर्ष रूप a(x − h)² + k है, जहां h = −b/(2a) और k = c − b²/(4a) है।

वर्ग प्रक्रिया को चरण-दर-चरण पूरा करने से सटीक शीर्ष (h, k), समरूपता का अक्ष x = h, और परवलय खुलने की दिशा उत्पन्न होती है (जब a > 0 हो तो ऊपर की ओर, जब a < 0 हो तो नीचे की ओर)।

जब a, 1 के बराबर न हो तो वर्ग को पूरा करना

जब a 1 के बराबर न हो तो वर्ग को पूरा करने के लिए शुरुआत में 1 अतिरिक्त कदम की आवश्यकता होती है: प्रत्येक पद को a से विभाजित करें, या पहले 2 पदों में से a का गुणनखंड करें। 3x² − 12x + 7 जैसे गैर-मोनिक द्विघातों के लिए, प्रक्रिया निम्नानुसार काम करती है:

1. x² और x पदों से a = 3 का गुणनखंड करें: 3(x² − 4x) + 7.
2. −4 का आधा −2 है। वर्ग: (−2)² = 4.
3. कोष्ठक के अंदर 4 जोड़ें और घटाएँ: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
4. त्रिपद का गुणनखंड करें और वितरित करें: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.

शीर्ष: (2, −5). परवलय ऊपर की ओर खुलता है क्योंकि a = 3 > 0. जब अग्रणी गुणांक ऋणात्मक होता है, तो परवलय नीचे की ओर खुलता है और शीर्ष न्यूनतम के बजाय अधिकतम बिंदु होता है।

सामान्य त्रुटि: सुधार शब्द को कोष्ठक से बाहर ले जाते समय घटाए गए मान को a से गुणा करना भूल जाना। उपरोक्त उदाहरण में, 3 के गुणनखंड को वितरित करने के बाद कोष्ठक के अंदर −4 −12 (−4 नहीं) हो जाता है।

वर्ग को पूरा करना जब b 0 हो

जब b 0 हो तो वर्ग को पूरा करने से सबसे सरल स्थिति उत्पन्न होती है। द्विघात ax² + c का कोई रैखिक पद नहीं है, इसलिए किसी वर्ग पूर्णता की आवश्यकता नहीं है। समीकरण पहले से ही शीर्ष रूप में है: a(x − 0)² + c.

शीर्ष (0, c) पर है, और समरूपता का अक्ष x = 0 (y-अक्ष) है। जड़ें, यदि वे मौजूद हैं, तो x = ±√(−c/a) हैं। वास्तविक मूल तब मौजूद होते हैं जब −c/a ≥ 0. उदाहरण के लिए, x² − 9 = 0 के मूल x = ±3 होते हैं क्योंकि −(−9)/1 = 9, और √9 = 3.

जब b = 0 और c > 0 के साथ a > 0, विवेचक Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0, और समीकरण में 2 जटिल संयुग्मी जड़ें हैं: x = ±i√(c/a)।

क्या आप हमेशा वर्ग पूरा कर सकते हैं?

हाँ, वर्ग को पूरा करना प्रत्येक द्विघात अभिव्यक्ति ax² + bx + c के लिए काम करता है जहाँ a ≠ 0 है।विधि विभेदक, गुणांक के चिह्न, या जड़ें वास्तविक या जटिल हैं या नहीं, पर निर्भर नहीं करती है। वर्ग को पूरा करना इसके लिए सफल होता है:

• x² + 6x + 9 = (x + 3)² जैसे पूर्ण वर्ग त्रिपद।
• बिना वास्तविक मूल वाले समीकरण, जैसे x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, जहां मूल जटिल हैं: x = −1 ± 2i।
• अपरिमेय गुणांक या भिन्नात्मक मान वाले समीकरण, जिसमें x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4 जैसे भिन्न कैलकुलेटर परिदृश्यों के साथ वर्ग को पूरा करना शामिल है।
• −2x² + 8x − 3 जैसे नकारात्मक अग्रणी गुणांक वाले समीकरण।

एकमात्र प्रतिबंध ≠ 0 है। जब a = 0, अभिव्यक्ति रैखिक हो जाती है (bx + c) और द्विघात नहीं है।

वर्गाकार चरणों को पूरा करें

पूर्ण वर्ग चरण किसी भी द्विघात को मानक रूप से शीर्ष रूप में परिवर्तित करते हैं। यहां ax² + bx + c के लिए पूरी प्रक्रिया दी गई है:

शीर्ष (h, k) है जहां h = −b/(2a) और k = c − b²/(4a) है। समरूपता का अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा x = h है।

वर्ग को पूरा करना: 5 आसान चरण

मानक द्विघातों के लिए इस सरलीकृत विधि का उपयोग करके चरण दर चरण वर्गों को पूरा करें (जब a = 1 हो):

1. समीकरण लिखिएजैसे x² + bx = −c (स्थिरांक को दाईं ओर ले जाएँ)।
2. x-गुणांक को आधा करें:बी/2 की गणना करें।
3. परिणाम का वर्ग करें:(बी/2)² की गणना करें।
4. दोनों तरफ (b/2)² जोड़ेंसमीकरण का: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
5. बाईं ओर का गुणनखंड करें(x + b/2)² के रूप में और x के लिए हल करें: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²)।

x² + 10x + 21 = 0 के लिए: 21 → x² + 10x = −21 ले जाएँ। 10 का आधा = 5. वर्ग: 25. जोड़ें: x² + 10x + 25 = 4. गुणनखंड: (x + 5)² = 4. मूल: x = −5 ± 2, जिससे x = −3 और x = −7 प्राप्त होता है।

वर्ग बनाम द्विघात सूत्र को पूरा करें

द्विघात सूत्र x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) सीधे वर्ग को पूरा करने से प्राप्त होता है। दोनों विधियाँ प्रत्येक द्विघात समीकरण को हल करती हैं, लेकिन वे अलग-अलग उद्देश्यों की पूर्ति करती हैं:

जब लक्ष्य शीर्ष रूप खोजना, परवलय का रेखांकन करना, शंकु अनुभाग समीकरणों को मानक रूप में परिवर्तित करना, या अनुकूलन समस्याओं को हल करना हो तो पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें। जब लक्ष्य शीर्ष की आवश्यकता के बिना तेजी से जड़ें ढूंढ रहा हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें। वोल्फ्राम अल्फा, सिम्बोलैब, मैथवे, डेसमॉस और जियोजेब्रा जैसे ऑनलाइन बीजगणित कैलकुलेटर दोनों विधियां प्रदान करते हैं। इस पृष्ठ पर संपूर्ण वर्ग कैलकुलेटर एक ही समाधान में शीर्ष रूप रूपांतरण और मूल दोनों प्रदान करता है।

वर्गाकार आरेख पूरा करें

संपूर्ण वर्ग आरेख बीजगणितीय विधि के पीछे ज्यामितीय प्रमाण दिखाता है। आरेख में 4 चरण हैं:

1. x² + bx से प्रारंभ करें.भुजा की लंबाई x (क्षेत्रफल = x²) वाला एक वर्ग और आयाम x × b (क्षेत्रफल = bx) वाला एक आयत बनाएं। कुल क्षेत्रफल = x² + bx.
2. आयत को विभाजित करें.bx आयत को 2 बराबर टुकड़ों में काटें, प्रत्येक का आयाम x × (b/2) हो। प्रत्येक टुकड़े का क्षेत्रफल = bx/2.
3. एल-आकार में पुनर्व्यवस्थित करें।एक टुकड़ा x² वर्ग के दाईं ओर रखें और दूसरा x² वर्ग के नीचे रखें। यह व्यवस्था गायब कोने के साथ एक एल-आकार बनाती है।
4. कोने को भरें.लुप्त कोना एक छोटा वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई b/2 और क्षेत्रफल (b/2)² है। कोने के टुकड़े को जोड़ने पर भुजा की लंबाई (x + b/2) और कुल क्षेत्रफल (x + b/2)² वाला एक बड़ा वर्ग पूरा हो जाता है।

संपूर्ण वर्ग आरेख साबित करता है कि x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²। ज्यामितीय प्रमाण बीजगणित को दृश्यमान बनाता है - "पूर्ण" क्रिया वस्तुतः आरेख में एक लुप्त वर्ग को भरना है। इस कैलकुलेटर के ऊपर इंटरैक्टिव विज़ुअल प्रूफ अनुभाग लेबल आयामों के साथ सभी 4 चरणों को एनिमेट करता है।