Så fungerar det att fylla i kvadratkalkylatorn
För att fylla i kvadraträknaren, skriv in de 3 koefficienterna a, b och c från en andragradsekvation ax² + bx + c = 0. Kalkylatorn utför 5 operationer:
- Dividera alla termer med den inledande koefficienten a, om a ≠ 1.
- Flytta den konstanta termen till höger sida av ekvationen.
- Beräkna (b/2a)² och lägg till värdet på båda sidor.
- Faktorisera vänster sida till en perfekt kvadratisk binomial (x + b/2a)².
- Skriv om ekvationen i vertexform a(x − h)² + k, där h = −b/(2a) och k = c − b²/(4a).
När du fyller i kvadratkalkylatorn visas varje algebraisk transformation som ett numrerat steg. En geometrisk proof-duk animerar områdesmodellen — delar bx-rektangeln, arrangerar om de två halvorna till en L-form och fyller den saknade hörnkvadraten (b/2a)² för att bilda en komplett kvadrat. Paraboldiagramfliken plottar den resulterande kurvan med vertex, rötter och symmetriaxel märkta.
Fyll i Square Formel
Den kompletta kvadratformeln omvandlar ax² + bx + c till vertexform genom 2 kärnidentiteter:
x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² Denna identitet skapar en perfekt kvadratisk trinomial till vänster. För en allmän kvadratisk ax² + bx + c, ger komplettering av kvadratformeln:
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) Spetsen är placerad vid h = −b/(2a) och k = c − b²/(4a). Symmetriaxeln är den vertikala linjen x = h. Diskriminanten Δ = b² − 4ac bestämmer antalet och typen av rötter: Δ > 0 ger 2 distinkta reella rötter, Δ = 0 ger 1 upprepad rot och Δ < 0 ger 2 komplexa konjugerade rötter.
Fyll i fyrkantexemplen
Exempel 1: x² + 6x + 5 = 0
- Den ledande koefficienten a = 1, så ingen division behövs.
- Flytta konstanten: x² + 6x = −5.
- Hälften av b är 6/2 = 3. Kvadra resultatet: 3² = 9. Lägg till 9 på båda sidorna: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
- Faktor: (x + 3)² = 4.
- Vertexform: (x + 3)² − 4. Vertex: (−3, −4). Rötter: x = −3 ± 2, så x = −1 och x = −5.
Exempel 2: 2x² + 8x + 3 = 0
- Dividera med a = 2: x² + 4x + 1,5 = 0.
- Rörelsekonstant: x² + 4x = −1,5.
- Hälften av 4 är 2. Kvadrat: 2² = 4. Addera 4: x² + 4x + 4 = −1,5 + 4 = 2,5.
- Faktor: (x + 2)² = 2,5.
- Multiplicera tillbaka med 2: 2(x + 2)² − 5. Vertex: (−2, −5). Rötter: x = −2 ± √(2,5) ≈ −0,42 och −3,58.
Exempel 3: x² − 4x + 4 = 0
- a = 1, ingen division behövs.
- Rörelsekonstant: x² − 4x = −4.
- Hälften av −4 är −2. Kvadrat: (−2)² = 4. Lägg till 4: x² − 4x + 4 = 0.
- Faktor: (x − 2)² = 0.
- Vertexform: (x − 2)². Vertex: (2, 0). En upprepad rot: x = 2. Diskriminant Δ = 0.
Vad är att fullborda torget?
Att komplettera kvadraten är en algebraisk metod som skriver om ett kvadratiskt uttryck ax² + bx + c som en perfekt kvadratisk binomial plus en konstant, i formen a(x − h)² + k.Metoden fungerar genom att addera och subtrahera värdet (b/(2a))² inuti uttrycket. Detta värde "fullbordar" kvadraten - det fyller tomrummet som behövs för att bilda en perfekt kvadratisk trinomial som räknas in i en kvadratisk binomial.
Att fylla i kvadraten tjänar fyra huvudsyften inom algebra och kalkyl:
- Konvertera standardform till vertexform för att rita paraboler.
- Härled kvadratformeln x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Lös andragradsekvationer som motstår standardfaktorering, inklusive ekvationer med irrationella koefficienter eller komplexa konjugerade rötter.
- Skriv om koniska sektionsekvationer (cirklar, ellipser, hyperboler) till standardform under kalkylintegreringssteg och innan du ritar paraboler.
Termen "fullborda kvadraten" kommer från geometri. En kvadratisk x² + bx representerar en kvadrat (area x²) fäst vid en rektangel (area bx). Att dela rektangeln och ordna om halvorna skapar en L-form med ett saknat hörn. Att fylla hörnet – lägga till (b/2)² – fullbordar hela kvadraten (x + b/2)².
Hur man kompletterar torget
För att slutföra kvadraten för ax² + bx + c, följ dessa 5 steg:
- Faktorera ut den ledande koefficienten afrån termerna x² och x, om a ≠ 1. Skriv a(x² + (b/a)x) + c.
- Hitta hälften av koefficienten för x.Koefficienten för x inom parentesen är b/a. Hälften av b/a är b/(2a).
- Kvadra halva koefficienten.Beräkna (b/(2a))² = b²/(4a²).
- Addera och subtrahera det kvadratiska värdetinom parentesen: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
- Faktorera det perfekta kvadratiska trinomialetoch förenkla: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Detta är spetsformen a(x − h)² + k, där h = −b/(2a) och k = c − b²/(4a).
Steg-för-steg som slutför kvadratprocessen ger den exakta vertexen (h, k), symmetriaxeln x = h och riktningen som parabeln öppnar (uppåt när a > 0, nedåt när a < 0).
Fyll i kvadraten när a inte är lika med 1
Att fylla i kvadraten när a inte är lika med 1 kräver 1 extra steg i början: dividera varje term med a, eller faktorisera a av de två första termerna. För icke-moniska kvadrater som 3x² − 12x + 7, fungerar processen enligt följande:
- Faktorera ut a = 3 från x² och x termer: 3(x² − 4x) + 7.
- Hälften av −4 är −2. Kvadrat: (−2)² = 4.
- Addera och subtrahera 4 inom parentesen: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
- Faktorisera trinomialet och fördela: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.
Vertex: (2, −5). Parabeln öppnar sig uppåt eftersom a = 3 > 0. När den ledande koefficienten är negativ öppnas parabeln nedåt och vertexen är en maxpunkt istället för ett minimum.
Vanligt fel: glömmer att multiplicera det subtraherade värdet med a när korrigeringstermen flyttas utanför parentesen. I exemplet ovan blir −4 inom parentesen −12 (inte −4) efter att ha fördelat faktorn 3.
Fylla i kvadraten när b är 0
Att fylla i kvadraten när b är 0 ger det enklaste fallet. Den kvadratiska ax² + c har ingen linjär term, så ingen kvadratkomplettering behövs. Ekvationen är redan i vertexform: a(x − 0)² + c.
Spetsen är vid (0, c), och symmetriaxeln är x = 0 (y-axeln). Rötterna, om de finns, är x = ±√(−c/a). Reella rötter finns när −c/a ≥ 0. Till exempel, x² − 9 = 0 har rötter x = ±3 eftersom −(−9)/1 = 9, och √9 = 3.
När b = 0 och c > 0 med a > 0, är diskriminanten Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0, och ekvationen har 2 komplexa konjugerade rötter: x = ±i√(c/a).
Kan du alltid fullborda torget?
Ja, att fylla i kvadraten fungerar för varje kvadratiskt uttryck ax² + bx + c där a ≠ 0.Metoden beror inte på diskriminant, koefficienttecknet eller om rötterna är reella eller komplexa. Att fylla i kvadraten lyckas för:
- Perfekta kvadratiska trinomialer som x² + 6x + 9 = (x + 3)².
- Ekvationer utan reella rötter, som x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, där rötterna är komplexa: x = −1 ± 2i.
- Ekvationer med irrationella koefficienter eller bråkvärden, inklusive att komplettera kvadraten med bråkkalkylatorscenarier som x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4.
- Ekvationer med en negativ ledande koefficient som −2x² + 8x − 3.
Den enda begränsningen är a ≠ 0. När a = 0 blir uttrycket linjärt (bx + c) och är inte kvadratiskt.
Slutför de fyrkantiga stegen
Genom att slutföra de kvadratiska stegen konverterar du vilken kvadratisk form som helst från standardform till vertexform. Här är hela proceduren för ax² + bx + c:
| Steg | Handling | Resultat |
|---|---|---|
| 1 | Faktorera ut a från x² och x termer | a(x² + (b/a)x) + c |
| 2 | Hitta halva koefficienten av x | b/(2a) |
| 3 | Kvadra halva koefficienten | b²/(4a²) |
| 4 | Addera och subtrahera inom parentes | a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c |
| 5 | Faktorera och förenkla | a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a) |
Spetsen är (h, k) där h = −b/(2a) och k = c − b²/(4a). Symmetriaxeln är den vertikala linjen x = h.
Att slutföra torget: 5 enkla steg
Fyll i kvadrater steg för steg med denna förenklade metod för standardkvadrater (när a = 1):
- Skriv ekvationensom x² + bx = −c (flytta konstanten åt höger).
- Halvera x-koefficienten:beräkna b/2.
- Kvadra resultatet:beräkna (b/2)².
- Lägg till (b/2)² på båda sidorav ekvationen: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
- Faktorera vänster sidasom (x + b/2)² och lös för x: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).
För x² + 10x + 21 = 0: flytta 21 → x² + 10x = −21. Hälften av 10 = 5. Kvadrat: 25. Addera: x² + 10x + 25 = 4. Faktor: (x + 5)² = 4. Rötter: x = −5 ± 2, vilket ger x = −3 och x = −7.
Slutför formeln Square vs Quadratic
Den kvadratiska formeln x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) härleds direkt från att fylla i kvadraten. Båda metoderna löser alla andragradsekvationer, men de tjänar olika syften:
| Särdrag | Komplettera torget | Kvadratisk formel |
|---|---|---|
| Produktion | Vertexform + rötter | Endast rötter |
| Vertex (h, k) | Direkt synlig | Kräver extra beräkning |
| Hastighet för rötterna | 5 steg | 1 byte |
| Grafer verktyg | Hög — ger vertexform | Låg — ger endast rötter |
| SAT/ACT-användning | Krävs för hörnfrågor | Föredraget för root-only frågor |
| Koniska sektioner | Nödvändig | Ej tillämpligt |
Använd kompletta kvadratmetoden när målet är att hitta vertexform, rita en parabel, konvertera koniska sektionsekvationer till standardform eller lösa optimeringsproblem. Använd kvadratformeln när målet är att hitta rötter snabbt utan att behöva höra. Online algebraräknare som Wolfram Alpha, Symbolab, Mathway, Desmos och GeoGebra erbjuder båda metoderna. Den kompletta kvadratkalkylatorn på den här sidan ger både vertexformomvandlingen och rötter i en enda lösning.
Fyll i det kvadratiska diagrammet
Det kompletta kvadratiska diagrammet visar det geometriska beviset bakom den algebraiska metoden. Diagrammet har 4 steg:
- Börja med x² + bx.Rita en kvadrat med sidlängden x (area = x²) och en rektangel med måtten x × b (area = bx). Total area = x² + bx.
- Dela rektangeln.Skär bx-rektangeln i 2 lika stora bitar, var och en med måtten x × (b/2). Area för varje del = bx/2.
- Ordna om till en L-form.Placera en bit på höger sida av x²-rutan och den andra under x²-rutan. Arrangemanget bildar en L-form med ett hörn som saknas.
- Fyll hörnet.Det saknade hörnet är en liten kvadrat med sidolängden b/2 och arean (b/2)². Att lägga till hörnstycket fullbordar en större kvadrat med sidolängd (x + b/2) och total area (x + b/2)².
Det kompletta kvadratiska diagrammet bevisar att x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². Det geometriska beviset gör algebra synlig - den "fullbordande" åtgärden fyller bokstavligen en saknad kvadrat i diagrammet. Den interaktiva visuella bevissektionen ovanför denna räknare animerar alla fyra stegen med märkta dimensioner.