Cara Melengkapkan Kalkulator Petak Berfungsi
Untuk menggunakan pelengkap kalkulator segi empat sama, masukkan 3 pekali a, b, dan c daripada persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0. Kalkulator melakukan 5 operasi:
- Bahagikan semua sebutan dengan pekali pendahulu a, jika a ≠ 1.
- Pindahkan sebutan tetap ke sebelah kanan persamaan.
- Kira (b/2a)² dan tambah nilai pada kedua-dua belah.
- Faktorkan bahagian kiri ke dalam binomial segi empat tepat (x + b/2a)².
- Tulis semula persamaan dalam bentuk puncak a(x − h)² + k, dengan h = −b/(2a) dan k = c − b²/(4a).
Kalkulator persegi yang melengkapkan memaparkan setiap penjelmaan algebra sebagai langkah bernombor. Kanvas kalis geometri menghidupkan model kawasan — membelah segi empat tepat bx, menyusun semula dua bahagian menjadi bentuk L dan mengisi segi empat sama sudut yang hilang (b/2a)² untuk membentuk segi empat sama lengkap. Tab graf parabola memplot lengkung yang terhasil dengan bucu, punca dan paksi simetri berlabel.
Lengkapkan Formula Kuasa Dua
Formula kuasa dua yang lengkap mengubah ax² + bx + c ke dalam bentuk bucu melalui 2 identiti teras:
x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² Identiti ini mencipta trinomial segi empat tepat di sebelah kiri. Untuk kuadratik am ax² + bx + c, melengkapkan formula kuasa dua menghasilkan:
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) Puncak terletak di h = −b/(2a) dan k = c − b²/(4a). Paksi simetri ialah garis menegak x = h. Diskriminasi Δ = b² − 4ac menentukan bilangan dan jenis akar: Δ > 0 memberikan 2 punca nyata yang berbeza, Δ = 0 memberikan 1 punca berulang, dan Δ < 0 memberikan 2 akar konjugat kompleks.
Lengkapkan Contoh Segiempat
Contoh 1: x² + 6x + 5 = 0
- Pekali utama a = 1, jadi tiada pembahagian diperlukan.
- Gerakkan pemalar: x² + 6x = −5.
- Separuh daripada b ialah 6/2 = 3. Kuadratkan hasilnya: 3² = 9. Tambahkan 9 pada kedua-dua belah: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
- Faktor: (x + 3)² = 4.
- Bentuk bucu: (x + 3)² − 4. Bucu: (−3, −4). Punca: x = −3 ± 2, jadi x = −1 dan x = −5.
Contoh 2: 2x² + 8x + 3 = 0
- Bahagikan dengan a = 2: x² + 4x + 1.5 = 0.
- Pemalar gerak: x² + 4x = −1.5.
- Separuh daripada 4 ialah 2. Segi empat sama: 2² = 4. Tambah 4: x² + 4x + 4 = −1.5 + 4 = 2.5.
- Faktor: (x + 2)² = 2.5.
- Darab kembali dengan 2: 2(x + 2)² − 5. Bucu: (−2, −5). Punca: x = −2 ± √(2.5) ≈ −0.42 dan −3.58.
Contoh 3: x² − 4x + 4 = 0
- a = 1, tiada pembahagian diperlukan.
- Pemalar gerak: x² − 4x = −4.
- Separuh daripada −4 ialah −2. Segi empat sama: (−2)² = 4. Tambah 4: x² − 4x + 4 = 0.
- Faktor: (x − 2)² = 0.
- Bentuk bucu: (x − 2)². Puncak: (2, 0). Satu punca berulang: x = 2. Diskriminasi Δ = 0.
Apakah yang Melengkapkan Dataran?
Melengkapkan segi empat sama ialah kaedah algebra yang menulis semula ungkapan kuadratik ax² + bx + c sebagai binomial kuasa dua sempurna campur pemalar, dalam bentuk a(x − h)² + k.Kaedah ini berfungsi dengan menambah dan menolak nilai (b/(2a))² di dalam ungkapan. Nilai ini "melengkapkan" segi empat sama — ia mengisi jurang yang diperlukan untuk membentuk trinomial kuasa dua sempurna yang difaktorkan menjadi binomial kuasa dua.
Melengkapkan segi empat sama mempunyai 4 tujuan utama dalam algebra dan kalkulus:
- Tukar bentuk piawai kepada bentuk bucu untuk membuat grafik parabola.
- Terbitkan formula kuadratik x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Selesaikan persamaan kuadratik yang menentang pemfaktoran piawai, termasuk persamaan dengan pekali tidak rasional atau punca konjugat kompleks.
- Tulis semula persamaan bahagian kon (bulatan, elips, hiperbola) ke dalam bentuk piawai semasa langkah penyepaduan kalkulus dan sebelum membuat grafik parabola.
Istilah "melengkapkan segi empat sama" berasal dari geometri. Kuadratik x² + bx mewakili segi empat sama (luas x²) yang dipasang pada segi empat tepat (luas bx). Membelah segi empat tepat dan menyusun semula bahagian menghasilkan bentuk L dengan sudut yang hilang. Mengisi sudut — menambah (b/2)² — melengkapkan petak penuh (x + b/2)².
Bagaimana untuk Melengkapkan Dataran
Untuk melengkapkan petak bagi ax² + bx + c, ikut 5 langkah ini:
- Faktorkan pekali pendahulu adaripada sebutan x² dan x, jika a ≠ 1. Tulis a(x² + (b/a)x) + c.
- Cari separuh daripada pekali x.Pekali bagi x di dalam kurungan ialah b/a. Separuh daripada b/a ialah b/(2a).
- Kuadratkan separuh pekali.Kira (b/(2a))² = b²/(4a²).
- Tambah dan tolak nilai kuasa duadi dalam kurungan: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
- Faktorkan trinomial segi empat tepatdan ringkaskan: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Ini ialah bentuk puncak a(x − h)² + k, dengan h = −b/(2a) dan k = c − b²/(4a).
Langkah demi langkah melengkapkan proses segi empat sama menghasilkan bucu tepat (h, k), paksi simetri x = h, dan arah parabola dibuka (ke atas apabila a > 0, ke bawah apabila a < 0).
Melengkapkan Petak apabila a Tidak Sama dengan 1
Melengkapkan segi empat sama apabila a tidak sama dengan 1 memerlukan 1 langkah tambahan pada permulaan: bahagikan setiap sebutan dengan a, atau faktorkan a daripada 2 sebutan pertama. Untuk kuadratik bukan monik seperti 3x² − 12x + 7, prosesnya berfungsi seperti berikut:
- Faktorkan a = 3 daripada sebutan x² dan x: 3(x² − 4x) + 7.
- Separuh daripada −4 ialah −2. Segi empat sama: (−2)² = 4.
- Tambah dan tolak 4 di dalam kurungan: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
- Faktorkan trinomial dan edarkan: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.
Puncak: (2, −5). Parabola terbuka ke atas kerana a = 3 > 0. Apabila pekali pendahuluan negatif, parabola terbuka ke bawah dan bucu ialah titik maksimum dan bukannya minimum.
Ralat biasa: terlupa untuk mendarab nilai tolak dengan a apabila mengalihkan istilah pembetulan di luar kurungan. Dalam contoh di atas, −4 di dalam kurungan menjadi −12 (bukan −4) selepas mengagihkan faktor 3.
Melengkapkan Petak Apabila b ialah 0
Melengkapkan kuasa dua apabila b ialah 0 menghasilkan kes termudah. Kuadratik ax² + c tidak mempunyai sebutan linear, jadi tiada pelengkapan kuasa dua diperlukan. Persamaan sudah dalam bentuk puncak: a(x − 0)² + c.
Puncak berada pada (0, c), dan paksi simetri ialah x = 0 (paksi-y). Punca-punca, jika wujud, ialah x = ±√(−c/a). Punca sebenar wujud apabila −c/a ≥ 0. Contohnya, x² − 9 = 0 mempunyai punca x = ±3 kerana −(−9)/1 = 9, dan √9 = 3.
Apabila b = 0 dan c > 0 dengan a > 0, diskriminasi Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0, dan persamaan mempunyai 2 punca konjugat kompleks: x = ±i√(c/a).
Bolehkah Anda Sentiasa Melengkapkan Petak?
Ya, melengkapkan petak berfungsi untuk setiap ungkapan kuadratik ax² + bx + c dengan a ≠ 0.Kaedah ini tidak bergantung pada diskriminasi, tanda pekali, atau sama ada akarnya nyata atau kompleks. Melengkapkan petak berjaya untuk:
- Trinomi segi empat tepat seperti x² + 6x + 9 = (x + 3)².
- Persamaan tanpa punca nyata, seperti x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, di mana puncanya kompleks: x = −1 ± 2i.
- Persamaan dengan pekali tidak rasional atau nilai pecahan, termasuk melengkapkan petak dengan senario kalkulator pecahan seperti x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4.
- Persamaan dengan pekali pendahuluan negatif seperti −2x² + 8x − 3.
Satu-satunya sekatan ialah ≠ 0. Apabila a = 0, ungkapan menjadi linear (bx + c) dan bukan kuadratik.
Lengkapkan Langkah Segiempat
Langkah-langkah persegi yang lengkap menukar mana-mana kuadratik daripada bentuk piawai kepada bentuk bucu. Berikut ialah prosedur penuh untuk ax² + bx + c:
| Langkah | Tindakan | Hasilnya |
|---|---|---|
| 1 | Faktorkan a daripada sebutan x² dan x | a(x² + (b/a)x) + c |
| 2 | Cari separuh pekali x | b/(2a) |
| 3 | Kuadratkan separuh pekali | b²/(4a²) |
| 4 | Tambah dan tolak dalam kurungan | a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c |
| 5 | Faktorkan dan permudahkan | a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a) |
Puncaknya ialah (h, k) dengan h = −b/(2a) dan k = c − b²/(4a). Paksi simetri ialah garis menegak x = h.
Melengkapkan Dataran: 5 Langkah Mudah
Lengkapkan kuasa dua langkah demi langkah menggunakan kaedah mudah ini untuk kuadratik piawai (apabila a = 1):
- Tulis persamaansebagai x² + bx = −c (gerakkan pemalar ke sebelah kanan).
- Kurangkan separuh pekali x:hitung b/2.
- Kuadratkan hasil:hitung (b/2)².
- Tambahkan (b/2)² pada kedua-dua belahdaripada persamaan: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
- Faktorkan bahagian kirisebagai (x + b/2)² dan selesaikan untuk x: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).
Untuk x² + 10x + 21 = 0: gerakkan 21 → x² + 10x = −21. Separuh daripada 10 = 5. Segi empat sama: 25. Tambah: x² + 10x + 25 = 4. Faktor: (x + 5)² = 4. Punca: x = −5 ± 2, memberikan x = −3 dan x = −7.
Lengkapkan Formula Kuadrat vs Kuadratik
Rumus kuadratik x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) diterbitkan terus daripada melengkapkan petak itu. Kedua-dua kaedah menyelesaikan setiap persamaan kuadratik, tetapi ia mempunyai tujuan yang berbeza:
| Ciri | Lengkapkan Dataran | Formula Kuadratik |
|---|---|---|
| Keluaran | Bentuk puncak + akar | Akar sahaja |
| Puncak (h, k) | Kelihatan langsung | Memerlukan pengiraan tambahan |
| Kelajuan untuk akar | 5 langkah | 1 penggantian |
| Utiliti grafik | Tinggi — memberikan bentuk puncak | Rendah - memberikan akar sahaja |
| Penggunaan SAT/ACT | Diperlukan untuk soalan puncak | Diutamakan untuk soalan akar sahaja |
| Bahagian kon | Diperlukan | Tidak berkenaan |
Gunakan kaedah kuasa dua lengkap apabila matlamatnya adalah untuk mencari bentuk bucu, membuat graf parabola, menukar persamaan bahagian kon kepada bentuk piawai atau menyelesaikan masalah pengoptimuman. Gunakan formula kuadratik apabila matlamat mencari punca dengan cepat tanpa memerlukan bucu. Kalkulator algebra dalam talian seperti Wolfram Alpha, Symbolab, Mathway, Desmos dan GeoGebra menawarkan kedua-dua kaedah. Kalkulator segi empat sama yang lengkap pada halaman ini menyediakan kedua-dua penukaran bentuk bucu dan punca dalam satu penyelesaian.
Lengkapkan Rajah Segi Empat
Gambar rajah segi empat sama yang lengkap menunjukkan bukti geometri di sebalik kaedah algebra. Rajah mempunyai 4 peringkat:
- Mulakan dengan x² + bx.Lukiskan segi empat sama dengan panjang sisi x (luas = x²) dan segi empat tepat dengan dimensi x × b (luas = bx). Jumlah luas = x² + bx.
- Belah segi empat tepat.Potong segi empat tepat bx kepada 2 bahagian yang sama, setiap satu dengan dimensi x × (b/2). Luas setiap bahagian = bx/2.
- Susun semula menjadi bentuk L.Letakkan satu bahagian di sebelah kanan petak x² dan satu lagi di bawah petak x². Susunannya membentuk bentuk L dengan sudut yang hilang.
- Isi sudut.Sudut yang hilang ialah segi empat sama kecil dengan panjang sisi b/2 dan luas (b/2)². Menambah bahagian sudut melengkapkan segi empat sama yang lebih besar dengan panjang sisi (x + b/2) dan jumlah luas (x + b/2)².
Gambar rajah segi empat sama yang lengkap membuktikan bahawa x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². Bukti geometri menjadikan algebra kelihatan — tindakan "melengkapkan" benar-benar mengisi petak yang hilang dalam rajah. Bahagian bukti visual interaktif di atas kalkulator ini menghidupkan kesemua 4 peringkat dengan dimensi berlabel.