Cara Kerja Menyelesaikan Kalkulator Persegi
Untuk menggunakan kalkulator kuadrat, masukkan 3 koefisien a, b, dan c dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Kalkulator melakukan 5 operasi:
- Bagilah semua suku dengan koefisien terdepan a, jika a ≠ 1.
- Pindahkan suku konstanta ke ruas kanan persamaan.
- Hitung (b/2a)² dan tambahkan nilai pada kedua ruas.
- Faktorkan ruas kiri menjadi binomial persegi sempurna (x + b/2a)².
- Tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk simpul a(x − h)² + k, dengan h = −b/(2a) dan k = c − b²/(4a).
Penyelesaian kalkulator persegi menampilkan setiap transformasi aljabar sebagai langkah bernomor. Kanvas bukti geometris menganimasikan model area — membelah persegi panjang bx, menata ulang kedua bagian menjadi bentuk L, dan mengisi persegi sudut yang hilang (b/2a)² untuk membentuk persegi lengkap. Tab grafik parabola memplot kurva yang dihasilkan dengan label titik, akar, dan sumbu simetri.
Lengkapi Rumus Persegi
Rumus kuadrat lengkap mengubah ax² + bx + c menjadi bentuk titik sudut melalui 2 identitas inti:
x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² Identitas ini menciptakan trinomial persegi sempurna di sebelah kiri. Untuk persamaan kuadrat umum ax² + bx + c, penyelesaian rumus kuadrat menghasilkan:
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) Titik puncaknya terletak di h = −b/(2a) dan k = c − b²/(4a). Sumbu simetrinya adalah garis vertikal x = h. Diskriminan Δ = b² − 4ac menentukan jumlah dan jenis akar: Δ > 0 menghasilkan 2 akar real berbeda, Δ = 0 menghasilkan 1 akar berulang, dan Δ < 0 menghasilkan 2 akar konjugat kompleks.
Lengkapi Contoh Kotak
Contoh 1: x² + 6x + 5 = 0
- Koefisien terdepan a = 1, jadi tidak diperlukan pembagian.
- Pindahkan konstanta: x² + 6x = −5.
- Setengah dari b adalah 6/2 = 3. Kuadratkan hasilnya: 3² = 9. Tambahkan 9 pada kedua ruas: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
- Faktor: (x + 3)² = 4.
- Bentuk titik sudut: (x + 3)² − 4. Bentuk titik sudut: (−3, −4). Akar: x = −3 ± 2, jadi x = −1 dan x = −5.
Contoh 2: 2x² + 8x + 3 = 0
- Bagi dengan a = 2: x² + 4x + 1,5 = 0.
- Konstanta gerak: x² + 4x = −1.5.
- Setengah dari 4 adalah 2. Kuadrat: 2² = 4. Tambahkan 4: x² + 4x + 4 = −1,5 + 4 = 2,5.
- Faktor: (x + 2)² = 2,5.
- Kalikan kembali dengan 2: 2(x + 2)² − 5. Titik puncak: (−2, −5). Akar: x = −2 ± √(2.5) ≈ −0.42 dan −3.58.
Contoh 3: x² − 4x + 4 = 0
- a = 1, tidak perlu pembagian.
- Konstanta gerak: x² − 4x = −4.
- Setengah dari −4 adalah −2. Kuadrat: (−2)² = 4. Tambahkan 4: x² − 4x + 4 = 0.
- Faktor: (x − 2)² = 0.
- Bentuk titik sudut: (x − 2)². Puncak: (2, 0). Satu akar berulang: x = 2. Diskriminan Δ = 0.
Apa yang Menyelesaikan Kotak?
Menyelesaikan kuadrat adalah metode aljabar yang menulis ulang persamaan kuadrat ax² + bx + c sebagai binomial kuadrat sempurna ditambah konstanta, dalam bentuk a(x − h)² + k.Metode ini bekerja dengan menjumlahkan dan mengurangi nilai (b/(2a))² di dalam ekspresi. Nilai ini "melengkapi" kuadrat - nilai ini mengisi celah yang diperlukan untuk membentuk trinomial kuadrat sempurna yang difaktorkan menjadi binomial kuadrat.
Menyelesaikan kuadrat memiliki 4 tujuan utama dalam aljabar dan kalkulus:
- Ubah bentuk standar menjadi bentuk titik sudut untuk membuat grafik parabola.
- Turunkan rumus kuadrat x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Menyelesaikan persamaan kuadrat yang menolak pemfaktoran standar, termasuk persamaan dengan koefisien irasional atau akar konjugat kompleks.
- Tulis ulang persamaan bagian kerucut (lingkaran, elips, hiperbola) ke dalam bentuk standar selama langkah integrasi kalkulus dan sebelum membuat grafik parabola.
Istilah "menyelesaikan persegi" berasal dari geometri. Kuadrat x² + bx melambangkan persegi (luas x²) yang terikat pada persegi panjang (luas bx). Memisahkan persegi panjang dan menata ulang bagiannya akan menghasilkan bentuk L dengan sudut yang hilang. Mengisi sudut — menambahkan (b/2)² — melengkapi persegi penuh (x + b/2)².
Cara Menyelesaikan Kotak
Untuk menyelesaikan persegi ax² + bx + c, ikuti 5 langkah berikut:
- Faktorkan koefisien utama adari suku x² dan x, jika a ≠ 1. Tulislah a(x² + (b/a)x) + c.
- Temukan setengah dari koefisien x.Koefisien x di dalam tanda kurung adalah b/a. Setengah dari b/a adalah b/(2a).
- Kuadratkan setengah koefisiennya.Hitung (b/(2a))² = b²/(4a²).
- Menambah dan mengurangi nilai kuadratdi dalam tanda kurung: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
- Faktorkan trinomial kuadrat sempurnadan sederhanakan: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Ini adalah bentuk puncak a(x − h)² + k, dengan h = −b/(2a) dan k = c − b²/(4a).
Penyelesaian proses persegi selangkah demi selangkah menghasilkan titik sudut eksak (h, k), sumbu simetri x = h, dan arah buka parabola (ke atas jika a > 0, ke bawah jika a < 0).
Mengisi Kuadrat jika a Tidak Sama dengan 1
Menyelesaikan kuadrat jika a tidak sama dengan 1 memerlukan 1 langkah tambahan di awal: bagi setiap suku dengan a, atau faktorkan a dari 2 suku pertama. Untuk kuadrat non-monik seperti 3x² − 12x + 7, prosesnya sebagai berikut:
- Faktorkan a = 3 dari suku x² dan x: 3(x² − 4x) + 7.
- Setengah dari −4 adalah −2. Kuadrat: (−2)² = 4.
- Tambahkan dan kurangi 4 di dalam tanda kurung: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
- Faktorkan trinomialnya dan distribusikan: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.
Puncak: (2, −5). Parabola terbuka ke atas karena a = 3 > 0. Jika koefisien terdepannya negatif, parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya adalah titik maksimum, bukan titik minimum.
Kesalahan umum: lupa mengalikan nilai pengurangan dengan a saat memindahkan suku koreksi ke luar tanda kurung. Pada contoh di atas, −4 di dalam tanda kurung menjadi −12 (bukan −4) setelah mendistribusikan faktor 3.
Menyelesaikan Kuadrat Ketika b adalah 0
Menyelesaikan kuadrat ketika b adalah 0 menghasilkan kasus yang paling sederhana. Kuadrat ax² + c tidak mempunyai suku linier, sehingga penyelesaian kuadrat tidak diperlukan. Persamaannya sudah berbentuk simpul: a(x − 0)² + c.
Titik sudutnya berada di (0, c), dan sumbu simetrinya adalah x = 0 (sumbu y). Akar-akarnya, jika ada, adalah x = ±√(−c/a). Akar real ada jika −c/a ≥ 0. Misalnya, x² − 9 = 0 mempunyai akar x = ±3 karena −(−9)/1 = 9, dan √9 = 3.
Jika b = 0 dan c > 0 dengan a > 0, diskriminan Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0, dan persamaan tersebut mempunyai 2 akar konjugat kompleks: x = ±i√(c/a).
Bisakah Anda Selalu Menyelesaikan Kotaknya?
Ya, menyelesaikan kuadrat berfungsi untuk setiap ekspresi kuadrat ax² + bx + c di mana a ≠ 0.Metode ini tidak bergantung pada diskriminan, tanda koefisien, atau apakah akar-akarnya real atau kompleks. Menyelesaikan kuadrat berhasil untuk:
- Trinomial persegi sempurna seperti x² + 6x + 9 = (x + 3)².
- Persamaan yang tidak memiliki akar real, misalnya x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, yang akar-akarnya kompleks: x = −1 ± 2i.
- Persamaan dengan koefisien irasional atau nilai pecahan, termasuk melengkapi kuadrat dengan skenario kalkulator pecahan seperti x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4.
- Persamaan dengan koefisien terdepan negatif seperti −2x² + 8x − 3.
Satu-satunya batasan adalah a ≠ 0. Jika a = 0, persamaannya menjadi linier (bx + c) dan bukan kuadrat.
Selesaikan Langkah Persegi
Selesaikan langkah persegi mengubah kuadrat apa pun dari bentuk standar ke bentuk titik sudut. Berikut prosedur lengkap untuk ax² + bx + c:
| Melangkah | Tindakan | Hasil |
|---|---|---|
| 1 | Faktorkan a dari suku x² dan x | a(x² + (b/a)x) + c |
| 2 | Temukan setengah koefisien x | b/(2a) |
| 3 | Kuadratkan setengah koefisiennya | b²/(4a²) |
| 4 | Menambah dan mengurangi di dalam tanda kurung | a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c |
| 5 | Faktorkan dan sederhanakan | a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a) |
Titik puncaknya adalah (h, k) dengan h = −b/(2a) dan k = c − b²/(4a). Sumbu simetrinya adalah garis vertikal x = h.
Menyelesaikan Kotak: 5 Langkah Mudah
Selesaikan kuadrat langkah demi langkah menggunakan metode sederhana berikut untuk kuadrat standar (jika a = 1):
- Tulis persamaannyasebagai x² + bx = −c (pindahkan konstanta ke ruas kanan).
- Membelah dua koefisien x:menghitung b/2.
- Kuadratkan hasilnya:hitung (b/2)².
- Tambahkan (b/2)² ke kedua sisipersamaan: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
- Faktorkan ruas kirisebagai (x + b/2)² dan selesaikan x: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).
Untuk x² + 10x + 21 = 0: pindahkan 21 → x² + 10x = −21. Setengah dari 10 = 5. Kuadrat: 25. Jumlahkan: x² + 10x + 25 = 4. Faktorkan: (x + 5)² = 4. Akar-akar: x = −5 ± 2, sehingga menghasilkan x = −3 dan x = −7.
Selesaikan Rumus Kuadrat vs Kuadrat
Rumus kuadrat x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) diturunkan langsung dari menyelesaikan kuadrat. Kedua metode tersebut menyelesaikan setiap persamaan kuadrat, namun memiliki tujuan yang berbeda:
| Fitur | Lengkapi Alun-alun | Rumus Kuadrat |
|---|---|---|
| Keluaran | Bentuk simpul + akar | Akar saja |
| Titik puncak (h, k) | Terlihat langsung | Membutuhkan perhitungan ekstra |
| Kecepatan untuk akar | 5 langkah | 1 pergantian pemain |
| Utilitas grafik | Tinggi — memberikan bentuk titik | Rendah — hanya menghasilkan akar |
| penggunaan SAT/ACT | Diperlukan untuk pertanyaan titik | Lebih disukai untuk pertanyaan akar saja |
| Bagian berbentuk kerucut | Diperlukan | Tidak berlaku |
Gunakan metode kuadrat lengkap jika tujuannya adalah menemukan bentuk titik sudut, membuat grafik parabola, mengubah persamaan penampang kerucut ke bentuk standar, atau menyelesaikan masalah optimasi. Gunakan rumus kuadrat jika tujuannya adalah menemukan akar dengan cepat tanpa memerlukan titik sudut. Kalkulator aljabar online seperti Wolfram Alpha, Symbolab, Mathway, Desmos, dan GeoGebra menawarkan kedua metode tersebut. Kalkulator persegi lengkap di halaman ini menyediakan konversi bentuk titik sudut dan akar dalam satu penyelesaian.
Lengkapi Diagram Persegi
Diagram persegi lengkap menunjukkan bukti geometri di balik metode aljabar. Diagram memiliki 4 tahap:
- Mulailah dengan x² + bx.Gambarlah sebuah persegi dengan panjang sisi x (luas = x²) dan persegi panjang dengan dimensi x × b (luas = bx). Luas total = x² + bx.
- Pisahkan persegi panjang tersebut.Potong persegi panjang bx menjadi 2 bagian yang sama besar, masing-masing berdimensi x × (b/2). Luas tiap potongan = bx/2.
- Susun ulang menjadi bentuk L.Tempatkan satu bagian di sisi kanan kotak x² dan yang lainnya di bawah kotak x². Susunannya membentuk huruf L dengan sudut yang hilang.
- Isi sudutnya.Sudut yang hilang adalah persegi kecil dengan panjang sisi b/2 dan luas (b/2)². Menambahkan potongan sudut akan melengkapi persegi yang lebih besar dengan panjang sisi (x + b/2) dan luas total (x + b/2)².
Diagram persegi lengkap membuktikan bahwa x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². Pembuktian geometri membuat aljabar terlihat — tindakan "menyelesaikan" secara harafiah berarti mengisi kotak yang hilang pada diagram. Bagian bukti visual interaktif di atas kalkulator ini menganimasikan keempat tahapan dengan dimensi berlabel.