Comment fonctionne la calculatrice carrée
Pour utiliser la calculatrice de complétion du carré, saisissez les 3 coefficients a, b et c d'une équation quadratique ax² + bx + c = 0. La calculatrice effectue 5 opérations :
- Divisez tous les termes par le coefficient dominant a, si a ≠ 1.
- Déplacez le terme constant vers la droite de l’équation.
- Calculez (b/2a)² et ajoutez la valeur des deux côtés.
- Factorisez le côté gauche en un binôme carré parfait (x + b/2a)².
- Réécrivez l'équation sous la forme du sommet a(x − h)² + k, où h = −b/(2a) et k = c − b²/(4a).
La calculatrice de complétion du carré affiche chaque transformation algébrique sous forme d'étape numérotée. Un canevas de preuve géométrique anime le modèle de zone : divisant le rectangle bx, réorganisant les deux moitiés en forme de L et remplissant le carré d'angle manquant (b/2a)² pour former un carré complet. L'onglet Graphique parabolique trace la courbe résultante avec le sommet, les racines et l'axe de symétrie étiquetés.
Complétez la formule carrée
La formule complète du carré transforme ax² + bx + c en forme de sommet à travers 2 identités principales :
x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² Cette identité crée un trinôme carré parfait à gauche. Pour une formule quadratique générale ax² + bx + c, la formule complète du carré produit :
une(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) Le sommet est situé à h = −b/(2a) et k = c − b²/(4a). L'axe de symétrie est la ligne verticale x = h. Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre et le type de racines : Δ > 0 donne 2 racines réelles distinctes, Δ = 0 donne 1 racine répétée, et Δ < 0 donne 2 racines conjuguées complexes.
Complétez les exemples de carrés
Exemple 1 : x² + 6x + 5 = 0
- Le coefficient principal a = 1, aucune division n'est donc nécessaire.
- Déplacez la constante : x² + 6x = −5.
- La moitié de b est 6/2 = 3. Mettez le résultat au carré : 3² = 9. Ajoutez 9 des deux côtés : x² + 6x + 9 = −5 + 9.
- Facteur : (x + 3)² = 4.
- Forme du sommet : (x + 3)² − 4. Sommet : (−3, −4). Racines : x = −3 ± 2, donc x = −1 et x = −5.
Exemple 2 : 2x² + 8x + 3 = 0
- Diviser par a = 2 : x² + 4x + 1,5 = 0.
- Constante de déplacement : x² + 4x = −1,5.
- La moitié de 4 est 2. Carré : 2² = 4. Ajoutez 4 : x² + 4x + 4 = −1,5 + 4 = 2,5.
- Facteur : (x + 2)² = 2,5.
- Multipliez par 2 : 2(x + 2)² − 5. Sommet : (−2, −5). Racines : x = −2 ± √(2,5) ≈ −0,42 et −3,58.
Exemple 3 : x² − 4x + 4 = 0
- a = 1, aucune division nécessaire.
- Constante de déplacement : x² − 4x = −4.
- La moitié de −4 est −2. Carré : (−2)² = 4. Ajoutez 4 : x² − 4x + 4 = 0.
- Facteur : (x − 2)² = 0.
- Forme du sommet : (x − 2)². Sommet : (2, 0). Une racine répétée : x = 2. Discriminant Δ = 0.
Qu’est-ce que compléter la place ?
Compléter le carré est une méthode algébrique qui réécrit une expression quadratique ax² + bx + c comme un binôme carré parfait plus une constante, sous la forme a(x − h)² + k.La méthode fonctionne en ajoutant et en soustrayant la valeur (b/(2a))² à l'intérieur de l'expression. Cette valeur « complète » le carré — elle comble le vide nécessaire pour former un trinôme carré parfait qui prend en compte un binôme carré.
Compléter le carré répond à 4 objectifs principaux en algèbre et en calcul :
- Convertissez la forme standard en forme de sommet pour représenter graphiquement les paraboles.
- Dérivez la formule quadratique x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Résolvez des équations quadratiques qui résistent à la factorisation standard, y compris des équations avec des coefficients irrationnels ou des racines conjuguées complexes.
- Réécrivez les équations de section conique (cercles, ellipses, hyperboles) sous forme standard pendant les étapes d'intégration du calcul et avant de représenter graphiquement les paraboles.
Le terme « compléter le carré » vient de la géométrie. Un quadratique x² + bx représente un carré (aire x²) attaché à un rectangle (aire bx). Diviser le rectangle et réorganiser les moitiés crée une forme en L avec un coin manquant. Remplir le coin – en ajoutant (b/2)² – complète le carré complet (x + b/2)².
Comment compléter le carré
Pour compléter le carré pour ax² + bx + c, suivez ces 5 étapes :
- Factoriser le coefficient dominant aà partir des termes x² et x, si a ≠ 1. Écrivez a(x² + (b/a)x) + c.
- Trouvez la moitié du coefficient de x.Le coefficient de x entre parenthèses est b/a. La moitié de b/a est b/(2a).
- Mettez au carré le demi-coefficient.Calculez (b/(2a))² = b²/(4a²).
- Ajouter et soustraire la valeur au carréà l'intérieur des parenthèses : a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
- Factoriser le trinôme carré parfaitet simplifier : a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Il s'agit de la forme du sommet a(x − h)² + k, où h = −b/(2a) et k = c − b²/(4a).
L'achèvement étape par étape du processus carré produit le sommet exact (h, k), l'axe de symétrie x = h et la direction dans laquelle la parabole s'ouvre (vers le haut lorsque a > 0, vers le bas lorsque a < 0).
Compléter le carré lorsque a n'est pas égal à 1
Compléter le carré lorsque a n'est pas égal à 1 nécessite 1 étape supplémentaire au début : diviser chaque terme par a, ou factoriser a sur les 2 premiers termes. Pour les quadratiques non moniques comme 3x² − 12x + 7, le processus fonctionne comme suit :
- Factorisez a = 3 à partir des termes x² et x : 3(x² − 4x) + 7.
- La moitié de −4 est −2. Carré : (−2)² = 4.
- Ajoutez et soustrayez 4 entre parenthèses : 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
- Factorisez le trinôme et distribuez : 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.
Sommet : (2, −5). La parabole s'ouvre vers le haut car a = 3 > 0. Lorsque le coefficient dominant est négatif, la parabole s'ouvre vers le bas et le sommet est un point maximum au lieu d'un minimum.
Erreur courante : oublier de multiplier la valeur soustraite par a en déplaçant le terme de correction hors des parenthèses. Dans l'exemple ci-dessus, le −4 entre parenthèses devient −12 (et non −4) après distribution du facteur 3.
Compléter le carré lorsque b vaut 0
Compléter le carré lorsque b vaut 0 produit le cas le plus simple. Le quadratique ax² + c n'a pas de terme linéaire, donc aucune complétion carrée n'est nécessaire. L'équation est déjà sous forme de sommet : a(x − 0)² + c.
Le sommet est en (0, c) et l'axe de symétrie est x = 0 (l'axe y). Les racines, si elles existent, sont x = ±√(−c/a). Les vraies racines existent lorsque −c/a ≥ 0. Par exemple, x² − 9 = 0 a des racines x = ±3 car −(−9)/1 = 9 et √9 = 3.
Lorsque b = 0 et c > 0 avec a > 0, le discriminant Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0, et l'équation a 2 racines conjuguées complexes : x = ±i√(c/a).
Pouvez-vous toujours compléter le carré ?
Oui, compléter le carré fonctionne pour chaque expression quadratique ax² + bx + c où a ≠ 0.La méthode ne dépend pas du discriminant, du signe des coefficients ou du fait que les racines soient réelles ou complexes. Compléter le carré réussit pour :
- Trinômes carrés parfaits comme x² + 6x + 9 = (x + 3)².
- Équations sans racines réelles, telles que x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, où les racines sont complexes : x = −1 ± 2i.
- Équations avec des coefficients irrationnels ou des valeurs fractionnaires, y compris compléter le carré avec des scénarios de calcul de fractions comme x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4.
- Équations avec un coefficient dominant négatif comme −2x² + 8x − 3.
La seule restriction est a ≠ 0. Lorsque a = 0, l'expression devient linéaire (bx + c) et n'est pas quadratique.
Complétez les étapes carrées
Les étapes carrées complètes convertissent n'importe quel quadratique de la forme standard en forme de sommet. Voici la procédure complète pour ax² + bx + c :
| Étape | Action | Résultat |
|---|---|---|
| 1 | Factoriser a à partir des termes x² et x | une(x² + (b/une)x) + c |
| 2 | Trouver la moitié du coefficient de x | b/(2a) |
| 3 | Carré le demi-coefficient | b²/(4a²) |
| 4 | Ajouter et soustraire entre parenthèses | une(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c |
| 5 | Factoriser et simplifier | une(x + b/(2a))² + c − b²/(4a) |
Le sommet est (h, k) où h = −b/(2a) et k = c − b²/(4a). L'axe de symétrie est la ligne verticale x = h.
Compléter le carré : 5 étapes faciles
Complétez les carrés étape par étape en utilisant cette méthode simplifiée pour les quadratiques standard (quand a = 1) :
- Écrivez l'équationcomme x² + bx = −c (déplacez la constante vers la droite).
- Réduisez de moitié le coefficient x :calculer b/2.
- Mettez au carré le résultat :calculer (b/2)².
- Ajoutez (b/2)² des deux côtésde l’équation : x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
- Factoriser le côté gauchecomme (x + b/2)² et résoudre pour x : x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).
Pour x² + 10x + 21 = 0 : déplacez 21 → x² + 10x = −21. La moitié de 10 = 5. Carré : 25. Additionner : x² + 10x + 25 = 4. Facteur : (x + 5)² = 4. Racines : x = −5 ± 2, ce qui donne x = −3 et x = −7.
Complétez la formule carré vs quadratique
La formule quadratique x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) est dérivée directement de la complétion du carré. Les deux méthodes résolvent toutes les équations quadratiques, mais elles servent des objectifs différents :
| Fonctionnalité | Complétez la place | Formule quadratique |
|---|---|---|
| Sortir | Forme du sommet + racines | Racines uniquement |
| Sommet (h, k) | Directement visible | Nécessite un calcul supplémentaire |
| Vitesse pour les racines | 5 étapes | 1 remplacement |
| Utilitaire graphique | Élevé – donne la forme du sommet | Faible – donne uniquement des racines |
| Utilisation SAT/ACT | Obligatoire pour les questions de sommet | Préféré pour les questions racine uniquement |
| Sections coniques | Requis | Sans objet |
Utilisez la méthode du carré complet lorsque l'objectif est de trouver la forme d'un sommet, de représenter graphiquement une parabole, de convertir des équations de section conique en forme standard ou de résoudre des problèmes d'optimisation. Utilisez la formule quadratique lorsque l’objectif est de trouver rapidement des racines sans avoir besoin du sommet. Les calculateurs d'algèbre en ligne comme Wolfram Alpha, Symbolab, Mathway, Desmos et GeoGebra proposent les deux méthodes. Le calculateur complet de carrés sur cette page fournit à la fois la conversion de la forme des sommets et des racines en une seule résolution.
Complétez le diagramme carré
Le diagramme carré complet montre la preuve géométrique derrière la méthode algébrique. Le diagramme comporte 4 étapes :
- Commencez par x² + bx.Dessinez un carré de longueur de côté x (aire = x²) et un rectangle de dimensions x × b (aire = bx). Superficie totale = x² + bx.
- Divisez le rectangle.Coupez le rectangle bx en 2 morceaux égaux, chacun de dimensions x × (b/2). Aire de chaque pièce = bx/2.
- Réorganiser en forme de L.Placez une pièce sur le côté droit du carré x² et l'autre en dessous du carré x². L'agencement forme une forme en L avec un coin manquant.
- Remplissez le coin.Le coin manquant est un petit carré de côté b/2 et d’aire (b/2)². L'ajout de la pièce d'angle complète un carré plus grand avec une longueur de côté (x + b/2) et une superficie totale (x + b/2)².
Le diagramme carré complet prouve que x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². La preuve géométrique rend l'algèbre visible — l'action « compléter » remplit littéralement un carré manquant dans le diagramme. La section de preuve visuelle interactive au-dessus de cette calculatrice anime les 4 étapes avec des dimensions étiquetées.