TamamlaKare Hesaplayıcı

Kare Hesaplayıcının Tamamlanması Nasıl Çalışır?

Kare tamamlama hesaplayıcıyı kullanmak için ikinci dereceden ax² + bx + c = 0 denkleminden 3 a, b ve c katsayılarını girin. Hesap makinesi 5 işlem gerçekleştirir:

1. a ≠ 1 ise, tüm terimleri baş katsayı a'ya bölün.
2. Sabit terimi denklemin sağ tarafına taşıyın.
3. (b/2a)² değerini hesaplayın ve değeri her iki tarafa ekleyin.
4. Sol tarafı tam kare binom (x + b/2a)² olarak çarpanlara ayırın.
5. Denklemi a(x − h)² + k tepe noktasında yeniden yazın; burada h = −b/(2a) ve k = c − b²/(4a).

Kare hesaplayıcının tamamlanması, her cebirsel dönüşümü numaralı bir adım olarak görüntüler. Geometrik bir kanıt tuvali alan modelini canlandırıyor; bx dikdörtgenini bölüyor, iki yarıyı L şeklinde yeniden düzenliyor ve eksik köşe karesini (b/2a)² doldurarak tam bir kare oluşturuyor. Parabol grafiği sekmesi, ortaya çıkan eğriyi tepe noktası, kökler ve simetri ekseni etiketli olarak çizer.

Kare Formülünü Tamamla

Tam kare formülü, ax² + bx + c'yi 2 temel kimlik aracılığıyla köşe formuna dönüştürür:

Bu özdeşlik solda bir tam kare üç terimli oluşturur. Genel bir ikinci dereceden ax² + bx + c için, kare formülünün tamamlanması şunu sağlar:

Tepe noktası h = −b/(2a) ve k = c − b²/(4a) konumundadır. Simetri ekseni x = h dikey çizgisidir. Δ = b² − 4ac diskriminantı köklerin sayısını ve türünü belirler: Δ > 0 2 farklı gerçek kök verir, Δ = 0 1 tekrarlanan kök verir ve Δ < 0 2 karmaşık eşlenik kök verir.

Kare Örnekleri Tamamlayın

Örnek 1: x² + 6x + 5 = 0

1. Baş katsayı a = 1 olduğundan bölmeye gerek yoktur.
2. Sabiti hareket ettirin: x² + 6x = −5.
3. B'nin yarısı 6/2 = 3. Sonucun karesini alın: 3² = 9. Her iki tarafa da 9 ekleyin: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
4. Çarpan: (x + 3)² = 4.
5. Tepe noktası formu: (x + 3)² − 4. Tepe noktası: (−3, −4). Kökler: x = −3 ± 2, yani x = −1 ve x = −5.

Örnek 2: 2x² + 8x + 3 = 0

1. a = 2'ye bölün: x² + 4x + 1,5 = 0.
2. Sabit hareket: x² + 4x = −1,5.
3. 4'ün yarısı 2'dir. Kare: 2² = 4. 4 ekleyin: x² + 4x + 4 = −1,5 + 4 = 2,5.
4. Çarpan: (x + 2)² = 2,5.
5. 2 ile geriye doğru çarpın: 2(x + 2)² − 5. Tepe noktası: (−2, −5). Kökler: x = −2 ± √(2,5) ≈ −0,42 ve −3,58.

Örnek 3: x² − 4x + 4 = 0

1. a = 1, bölmeye gerek yok.
2. Sabit hareket: x² − 4x = −4.
3. −4'ün yarısı −2'dir. Kare: (−2)² = 4. 4 ekleyin: x² − 4x + 4 = 0.
4. Çarpan: (x − 2)² = 0.
5. Köşe formu: (x − 2)². Tepe noktası: (2, 0). Tekrarlanan bir kök: x = 2. Diskriminant Δ = 0.

Meydanı Tamamlamak Nedir?

Kareyi tamamlama, ikinci dereceden ax² + bx + c ifadesini a(x − h)² + k biçiminde tam kare binom artı bir sabit olarak yeniden yazan cebirsel bir yöntemdir.Yöntem, ifadenin içindeki (b/(2a))² değerini toplayıp çıkararak çalışır. Bu değer kareyi "tamamlar"; kareli bir binomun çarpanlarına ayrılan mükemmel bir kare trinomial oluşturmak için gereken boşluğu doldurur.

Kareye tamamlama cebir ve analizde 4 ana amaca hizmet eder:

• Parabollerin grafiğini çizmek için standart formu köşe formuna dönüştürün.
• İkinci dereceden formül x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)'yı türetin.
• İrrasyonel katsayılara veya karmaşık eşlenik köklere sahip denklemler de dahil olmak üzere, standart çarpanlara ayırmaya direnen ikinci dereceden denklemleri çözün.
• Analiz entegrasyon adımları sırasında ve parabollerin grafiğini çizmeden önce konik bölüm denklemlerini (daireler, elipsler, hiperboller) standart forma yeniden yazın.

"Kareye tamamlama" terimi geometriden gelir. İkinci dereceden bir x² + bx, bir dikdörtgene (bx alanı) bağlı bir kareyi (x² alanını) temsil eder. Dikdörtgenin bölünmesi ve yarımların yeniden düzenlenmesi, köşesi eksik olan bir L şekli oluşturur. Köşeyi doldurmak - (b/2)² eklemek - tam kareyi (x + b/2)² tamamlar.

Kare Nasıl Tamamlanır

ax² + bx + c'nin karesini tamamlamak için şu 5 adımı izleyin:

1. Baş katsayı a'yı çarpanlara ayırına ≠ 1 ise x² ve x terimlerinden. a(x² + (b/a)x) + c yazın.
2. X katsayısının yarısını bulun.Parantez içindeki x'in katsayısı b/a'dır. b/a'nın yarısı b/(2a)'dır.
3. Yarı katsayının karesini alın.Hesapla (b/(2a))² = b²/(4a²).
4. Kare değeri ekleyin ve çıkarınparantezlerin içinde: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
5. Mükemmel kare üç terimliyi çarpanlarına ayırınve basitleştirin: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Bu, a(x − h)² + k tepe noktasıdır; burada h = −b/(2a) ve k = c − b²/(4a).

Kare işleminin adım adım tamamlanması tam tepe noktasını (h, k), simetri eksenini x = h ve parabolün açılma yönünü (a > 0 olduğunda yukarı, a < 0 olduğunda aşağı) üretir.

a, 1'e eşit olmadığında kareye tamamlama

a, 1'e eşit olmadığında kareyi tamamlamak, başlangıçta fazladan 1 adım gerektirir: her terimi a'ya bölün veya ilk 2 terimi a'ya bölün. 3x² − 12x + 7 gibi mononik olmayan ikinci dereceden denklemler için süreç şu şekilde çalışır:

1. a = 3'ü x² ve x terimlerinden ayırın: 3(x² − 4x) + 7.
2. −4'ün yarısı −2'dir. Kare: (−2)² = 4.
3. Parantez içine 4 ekleyin ve çıkarın: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
4. Üç terimliyi çarpanlara ayırın ve dağıtın: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.

Tepe noktası: (2, −5). a = 3 > 0 olduğundan parabol yukarıya doğru açılır. Baş katsayı negatif olduğunda parabol aşağıya doğru açılır ve tepe noktası minimum yerine maksimum nokta olur.

Yaygın hata: Düzeltme terimini parantezlerin dışına taşırken çıkarılan değeri a ile çarpmayı unutmak. Yukarıdaki örnekte, parantez içindeki −4, 3'ün çarpanı dağıtıldıktan sonra −12 (−4 değil) olur.

b 0 Olduğunda Kareyi Tamamlama

b 0 olduğunda karenin tamamlanması en basit durumu oluşturur. İkinci dereceden ax² + c'nin doğrusal bir terimi yoktur, dolayısıyla kare tamamlamaya gerek yoktur. Denklem zaten köşe biçimindedir: a(x − 0)² + c.

Tepe noktası (0, c)'dedir ve simetri ekseni x = 0'dır (y ekseni). Kökler, eğer varsa, x = ±√(−c/a)'dır. Gerçek kökler −c/a ≥ 0 olduğunda mevcuttur. Örneğin, x² − 9 = 0'ın kökleri x = ±3'tür çünkü −(−9)/1 = 9 ve √9 = 3'tür.

b = 0 ve c > 0 ve a > 0 olduğunda, diskriminant Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0 olur ve denklemin 2 karmaşık eşlenik kökü vardır: x = ±i√(c/a).

Her Zaman Kareyi Tamamlayabilir misin?

Evet, a ≠ 0 olan her ikinci dereceden ax² + bx + c ifadesi için kareye tamamlama işe yarar.Yöntem diskriminant, katsayıların işareti veya köklerin gerçek veya karmaşık olmasına bağlı değildir. Kareyi tamamlamak şu amaçlarla başarılı olur:

• x² + 6x + 9 = (x + 3)² gibi tam kare üç terimli sayılar.
• Kökleri karmaşık olan x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 gibi gerçek kökü olmayan denklemler: x = −1 ± 2i.
• İrrasyonel katsayılara veya kesirli değerlere sahip denklemler; x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4 gibi kesirli hesaplama senaryolarıyla kareyi tamamlama.
• −2x² + 8x − 3 gibi negatif baş katsayılı denklemler.

Tek kısıtlama a ≠ 0'dır. a = 0 olduğunda ifade doğrusal olur (bx + c) ve ikinci dereceden değildir.

Kare Adımları Tamamlayın

Tam kare adımlar, herhangi bir ikinci dereceden öğeyi standart formdan köşe formuna dönüştürür. ax² + bx + c için tam prosedür aşağıdadır:

Tepe noktası (h, k)'dir; burada h = −b/(2a) ve k = c − b²/(4a). Simetri ekseni x = h dikey çizgisidir.

Kareyi Tamamlamak: 5 Kolay Adım

Standart ikinci dereceden işlemler için bu basitleştirilmiş yöntemi kullanarak kareleri adım adım tamamlayın (a = 1 olduğunda):

1. Denklemi yazx² + bx = −c olarak (sabiti sağ tarafa taşıyın).
2. X katsayısını yarıya indirin:b/2'yi hesaplayın.
3. Sonucun karesini alın:(b/2)²'yi hesaplayın.
4. Her iki tarafa da (b/2)² ekleyindenklemin formülü: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
5. Sol tarafı hesaba katın(x + b/2)² olarak hesaplayın ve x için çözün: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).

x² + 10x + 21 = 0 için: 21 → x² + 10x = −21'i hareket ettirin. 10'un yarısı = 5. Kare: 25. Toplama: x² + 10x + 25 = 4. Çarpan: (x + 5)² = 4. Kökler: x = −5 ± 2, x = −3 ve x = −7'yi verir.

Kare-İkinci Dereceden Formülü Tamamlayın

İkinci dereceden formül x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) doğrudan kareye tamamlanarak elde edilir. Her iki yöntem de her ikinci dereceden denklemi çözer, ancak farklı amaçlara hizmet ederler:

Amaç köşe formunu bulmak, bir parabolün grafiğini çizmek, konik bölüm denklemlerini standart forma dönüştürmek veya optimizasyon problemlerini çözmek olduğunda kareyi tamamlama yöntemini kullanın. Amaç, tepe noktasına ihtiyaç duymadan hızlı bir şekilde kökleri bulmak olduğunda ikinci dereceden formülü kullanın. Wolfram Alpha, Sembolab, Mathway, Desmos ve GeoGebra gibi çevrimiçi cebir hesaplayıcıları her iki yöntemi de sunar. Bu sayfadaki tam kare hesaplayıcı, tek bir çözümde hem köşe biçimi dönüşümünü hem de kökleri sağlar.

Kare Diyagramı Tamamlayın

Kare diyagramın tamamı cebirsel yöntemin arkasındaki geometrik kanıtı gösterir. Diyagramın 4 aşaması vardır:

1. x² + bx ile başlayın.Kenar uzunluğu x (alan = x²) olan bir kare ve boyutları x × b (alan = bx) olan bir dikdörtgen çizin. Toplam alan = x² + bx.
2. Dikdörtgeni bölün.bx dikdörtgenini her birinin boyutları x × (b/2) olan 2 eşit parçaya kesin. Her parçanın alanı = bx/2.
3. L şeklinde yeniden düzenleyin.Bir parçayı x² karesinin sağ tarafına, diğerini x² karesinin altına yerleştirin. Düzenleme, eksik bir köşeye sahip bir L şekli oluşturur.
4. Köşeyi doldurun.Eksik köşe, kenar uzunluğu b/2 ve alanı (b/2)² olan küçük bir karedir. Köşe parçasının eklenmesi, kenar uzunluğu (x + b/2) ve toplam alanı (x + b/2)² olan daha büyük bir kareyi tamamlar.

Kare diyagramın tamamı x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² olduğunu kanıtlar. Geometrik kanıt cebiri görünür kılar - "tamamlama" eylemi tam anlamıyla diyagramdaki eksik bir kareyi doldurmaktır. Bu hesap makinesinin üzerindeki etkileşimli görsel prova bölümü, 4 aşamanın tamamını etiketli boyutlarla canlandırmaktadır.