Conclua oCalculadora Quadrada

Como funciona o preenchimento da calculadora quadrada

Para usar a calculadora de completar quadrados, insira os 3 coeficientes a, b e c de uma equação quadrática ax² + bx + c = 0. A calculadora realiza 5 operações:

1. Divida todos os termos pelo coeficiente líder a, se a ≠ 1.
2. Mova o termo constante para o lado direito da equação.
3. Calcule (b/2a)² e some o valor a ambos os lados.
4. Fatore o lado esquerdo em um binômio quadrado perfeito (x + b/2a)².
5. Reescreva a equação na forma de vértice a(x − h)² + k, onde h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a).

A calculadora de completar o quadrado exibe cada transformação algébrica como uma etapa numerada. Uma tela de prova geométrica anima o modelo de área – dividindo o retângulo bx, reorganizando as duas metades em forma de L e preenchendo o quadrado de canto ausente (b/2a)² para formar um quadrado completo. A guia do gráfico de parábola traça a curva resultante com o vértice, as raízes e o eixo de simetria rotulados.

Complete a Fórmula Quadrada

A fórmula quadrada completa transforma ax² + bx + c na forma de vértice por meio de 2 identidades principais:

Essa identidade cria um trinômio quadrado perfeito à esquerda. Para um quadrático geral ax² + bx + c, completar a fórmula quadrada produz:

O vértice está localizado em h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a). O eixo de simetria é a linha vertical x = h. O discriminante Δ = b² − 4ac determina o número e tipo de raízes: Δ > 0 fornece 2 raízes reais distintas, Δ = 0 fornece 1 raiz repetida e Δ < 0 fornece 2 raízes conjugadas complexas.

Complete os exemplos quadrados

Exemplo 1: x² + 6x + 5 = 0

1. O coeficiente principal a = 1, portanto, nenhuma divisão é necessária.
2. Mova a constante: x² + 6x = −5.
3. Metade de b é 6/2 = 3. Eleve ao quadrado o resultado: 3² = 9. Adicione 9 a ambos os lados: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
4. Fator: (x + 3)² = 4.
5. Forma de vértice: (x + 3)² − 4. Vértice: (−3, −4). Raízes: x = −3 ± 2, então x = −1 e x = −5.

Exemplo 2: 2x² + 8x + 3 = 0

1. Divida por a = 2: x² + 4x + 1,5 = 0.
2. Constante de movimento: x² + 4x = −1,5.
3. Metade de 4 é 2. Quadrado: 2² = 4. Adicione 4: x² + 4x + 4 = −1,5 + 4 = 2,5.
4. Fator: (x + 2)² = 2,5.
5. Multiplique novamente por 2: 2(x + 2)² − 5. Vértice: (−2, −5). Raízes: x = −2 ± √(2,5) ≈ −0,42 e −3,58.

Exemplo 3: x² − 4x + 4 = 0

1. a = 1, nenhuma divisão necessária.
2. Constante de movimento: x² − 4x = −4.
3. Metade de −4 é −2. Quadrado: (−2)² = 4. Adicione 4: x² − 4x + 4 = 0.
4. Fator: (x − 2)² = 0.
5. Forma de vértice: (x − 2)². Vértice: (2, 0). Uma raiz repetida: x = 2. Discriminante Δ = 0.

O que é completar o quadrado?

Completar o quadrado é um método algébrico que reescreve uma expressão quadrática ax² + bx + c como um binômio quadrado perfeito mais uma constante, na forma a(x − h)² + k.O método funciona adicionando e subtraindo o valor (b/(2a))² dentro da expressão. Este valor "completa" o quadrado - preenche a lacuna necessária para formar um trinômio quadrado perfeito que fatora em um binômio quadrado.

Completar o quadrado serve a quatro propósitos principais em álgebra e cálculo:

• Converta a forma padrão em forma de vértice para representar graficamente parábolas.
• Derive a fórmula quadrática x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
• Resolva equações quadráticas que resistem à fatoração padrão, incluindo equações com coeficientes irracionais ou raízes conjugadas complexas.
• Reescreva equações de seção cônica (círculos, elipses, hipérboles) na forma padrão durante as etapas de integração do cálculo e antes de representar graficamente parábolas.

O termo "completar o quadrado" vem da geometria. Um quadrático x² + bx representa um quadrado (área x²) anexado a um retângulo (área bx). Dividir o retângulo e reorganizar as metades cria uma forma de L sem um canto. Preencher o canto — adicionar (b/2)² — completa o quadrado completo (x + b/2)².

Como completar o quadrado

Para completar o quadrado para ax² + bx + c, siga estes 5 passos:

1. Fatore o coeficiente líder ados termos x² e x, se a ≠ 1. Escreva a(x² + (b/a)x) + c.
2. Encontre metade do coeficiente de x.O coeficiente de x entre parênteses é b/a. Metade de b/a é b/(2a).
3. Eleve ao quadrado o meio coeficiente.Calcule (b/(2a))² = b²/(4a²).
4. Adicione e subtraia o valor ao quadradodentro dos parênteses: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
5. Fatore o trinômio quadrado perfeitoe simplifique: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Esta é a forma de vértice a(x − h)² + k, onde h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a).

O processo passo a passo de completar o quadrado produz o vértice exato (h, k), o eixo de simetria x = h e a direção em que a parábola se abre (para cima quando a > 0, para baixo quando a < 0).

Completando o quadrado quando a é diferente de 1

Completar o quadrado quando a não é igual a 1 requer uma etapa extra no início: dividir cada termo por a ou fatorar a dos 2 primeiros termos. Para quadráticas não mônicas como 3x² − 12x + 7, o processo funciona da seguinte forma:

1. Fatore a = 3 dos termos x² e x: 3(x² − 4x) + 7.
2. Metade de −4 é −2. Quadrado: (−2)² = 4.
3. Adicione e subtraia 4 entre parênteses: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
4. Fatore o trinômio e distribua: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.

Vértice: (2, −5). A parábola abre para cima porque a = 3 > 0. Quando o coeficiente líder é negativo, a parábola abre para baixo e o vértice é um ponto máximo em vez de mínimo.

Erro comum: esquecer de multiplicar o valor subtraído por a ao mover o termo de correção para fora dos parênteses. No exemplo acima, o −4 entre parênteses torna-se −12 (não −4) após a distribuição do fator 3.

Completando o quadrado quando b é 0

Completar o quadrado quando b é 0 produz o caso mais simples. O quadrático ax² + c não tem termo linear, portanto, nenhuma conclusão quadrada é necessária. A equação já está na forma de vértice: a(x − 0)² + c.

O vértice está em (0, c) e o eixo de simetria é x = 0 (o eixo y). As raízes, se existirem, são x = ±√(−c/a). Raízes reais existem quando −c/a ≥ 0. Por exemplo, x² − 9 = 0 tem raízes x = ±3 porque −(−9)/1 = 9 e √9 = 3.

Quando b = 0 e c > 0 com a > 0, o discriminante Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0, e a equação tem 2 raízes conjugadas complexas: x = ±i√(c/a).

Você sempre consegue completar o quadrado?

Sim, completar o quadrado funciona para cada expressão quadrática ax² + bx + c onde a ≠ 0.O método não depende do discriminante, do sinal dos coeficientes ou se as raízes são reais ou complexas. Completar o quadrado é bem-sucedido para:

• Trinômios quadrados perfeitos como x² + 6x + 9 = (x + 3)².
• Equações sem raízes reais, como x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, onde as raízes são complexas: x = −1 ± 2i.
• Equações com coeficientes irracionais ou valores fracionários, incluindo completar o quadrado com cenários de calculadora de frações como x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4.
• Equações com coeficiente inicial negativo como −2x² + 8x − 3.

A única restrição é a ≠ 0. Quando a = 0, a expressão torna-se linear (bx + c) e não quadrática.

Conclua as etapas quadradas

As etapas quadradas completas convertem qualquer quadrática da forma padrão para a forma de vértice. Aqui está o procedimento completo para ax² + bx + c:

O vértice é (h, k) onde h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a). O eixo de simetria é a linha vertical x = h.

Completando o quadrado: 5 etapas fáceis

Complete os quadrados passo a passo usando este método simplificado para quadráticas padrão (quando a = 1):

1. Escreva a equaçãocomo x² + bx = −c (mova a constante para o lado direito).
2. Reduza pela metade o coeficiente x:calcule b/2.
3. Eleve o resultado ao quadrado:calcular (b/2)².
4. Adicione (b/2)² a ambos os ladosda equação: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
5. Fatore o lado esquerdocomo (x + b/2)² e resolva para x: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).

Para x² + 10x + 21 = 0: mova 21 → x² + 10x = −21. Metade de 10 = 5. Quadrado: 25. Some: x² + 10x + 25 = 4. Fator: (x + 5)² = 4. Raízes: x = −5 ± 2, dando x = −3 e x = −7.

Complete a fórmula Quadrado vs Quadrático

A fórmula quadrática x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) é derivada diretamente do preenchimento do quadrado. Ambos os métodos resolvem todas as equações quadráticas, mas servem a propósitos diferentes:

Use o método completar o quadrado quando o objetivo for encontrar a forma do vértice, representar graficamente uma parábola, converter equações de seção cônica na forma padrão ou resolver problemas de otimização. Use a fórmula quadrática quando o objetivo for encontrar raízes rapidamente sem precisar do vértice. Calculadoras de álgebra online como Wolfram Alpha, Symbolab, Mathway, Desmos e GeoGebra oferecem ambos os métodos. A calculadora quadrada completa nesta página fornece a conversão da forma de vértice e raízes em uma única solução.

Complete o Diagrama Quadrado

O diagrama quadrado completo mostra a prova geométrica por trás do método algébrico. O diagrama tem 4 etapas:

1. Comece com x² + bx.Desenhe um quadrado com comprimento lateral x (área = x²) e um retângulo com dimensões x × b (área = bx). Área total = x² + bx.
2. Divida o retângulo.Corte o retângulo bx em 2 pedaços iguais, cada um com dimensões x × (b/2). Área de cada peça = bx/2.
3. Reorganize em forma de L.Coloque uma peça no lado direito do quadrado x² e a outra abaixo do quadrado x². O arranjo forma um L sem um canto.
4. Preencha o canto.O canto que falta é um pequeno quadrado com lado de comprimento b/2 e área (b/2)². Adicionar a peça do canto completa um quadrado maior com comprimento lateral (x + b/2) e área total (x + b/2)².

O diagrama quadrado completo prova que x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². A prova geométrica torna a álgebra visível – a ação de “completar” é literalmente preencher um quadrado que falta no diagrama. A seção de prova visual interativa acima desta calculadora anima todos os 4 estágios com dimensões rotuladas.