So funktioniert das Ausfüllen des Quadratrechners
Um den Quadratrechner zu vervollständigen, geben Sie die 3 Koeffizienten a, b und c aus einer quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ein. Der Rechner führt 5 Operationen aus:
- Teilen Sie alle Terme durch den führenden Koeffizienten a, wenn a ≠ 1.
- Verschieben Sie den konstanten Term auf die rechte Seite der Gleichung.
- Berechnen Sie (b/2a)² und addieren Sie den Wert auf beiden Seiten.
- Faktorisieren Sie die linke Seite in ein perfektes quadratisches Binomial (x + b/2a)².
- Schreiben Sie die Gleichung in der Scheitelpunktform a(x − h)² + k um, wobei h = −b/(2a) und k = c − b²/(4a).
Der Rechner zum Vervollständigen des Quadrats zeigt jede algebraische Transformation als nummerierten Schritt an. Eine geometrische Proof-Leinwand animiert das Flächenmodell – sie teilt das bx-Rechteck, ordnet die beiden Hälften in eine L-Form neu an und füllt das fehlende Eckquadrat (b/2a)², um ein vollständiges Quadrat zu bilden. Auf der Registerkarte Parabeldiagramm wird die resultierende Kurve mit beschrifteten Scheitelpunkten, Wurzeln und Symmetrieachsen dargestellt.
Vervollständigen Sie die Quadratformel
Die vollständige Quadratformel transformiert ax² + bx + c durch zwei Kernidentitäten in die Scheitelpunktform:
x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² Diese Identität erzeugt links ein perfektes quadratisches Trinom. Für eine allgemeine quadratische Gleichung ax² + bx + c ergibt die Vervollständigung der Quadratformel:
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) Der Scheitelpunkt liegt bei h = −b/(2a) und k = c − b²/(4a). Die Symmetrieachse ist die Vertikale x = h. Die Diskriminante Δ = b² − 4ac bestimmt die Anzahl und Art der Wurzeln: Δ > 0 ergibt 2 verschiedene reelle Wurzeln, Δ = 0 ergibt 1 wiederholte Wurzel und Δ < 0 ergibt 2 komplex konjugierte Wurzeln.
Vervollständigen Sie die quadratischen Beispiele
Beispiel 1: x² + 6x + 5 = 0
- Der führende Koeffizient a = 1, daher ist keine Division erforderlich.
- Verschieben Sie die Konstante: x² + 6x = −5.
- Die Hälfte von b ist 6/2 = 3. Quadrieren Sie das Ergebnis: 3² = 9. Addieren Sie 9 auf beiden Seiten: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
- Faktor: (x + 3)² = 4.
- Scheitelpunktform: (x + 3)² − 4. Scheitelpunkt: (−3, −4). Wurzeln: x = −3 ± 2, also x = −1 und x = −5.
Beispiel 2: 2x² + 8x + 3 = 0
- Division durch a = 2: x² + 4x + 1,5 = 0.
- Bewegungskonstante: x² + 4x = −1,5.
- Die Hälfte von 4 ist 2. Quadrat: 2² = 4. Addiere 4: x² + 4x + 4 = −1,5 + 4 = 2,5.
- Faktor: (x + 2)² = 2,5.
- Mit 2 zurückmultiplizieren: 2(x + 2)² − 5. Scheitelpunkt: (−2, −5). Wurzeln: x = −2 ± √(2,5) ≈ −0,42 und −3,58.
Beispiel 3: x² − 4x + 4 = 0
- a = 1, keine Division erforderlich.
- Verschiebekonstante: x² − 4x = −4.
- Die Hälfte von −4 ist −2. Quadrat: (−2)² = 4. Addiere 4: x² − 4x + 4 = 0.
- Faktor: (x − 2)² = 0.
- Scheitelpunktform: (x − 2)². Scheitelpunkt: (2, 0). Eine wiederholte Wurzel: x = 2. Diskriminante Δ = 0.
Was ist „Completing the Square“?
Die Quadratvervollständigung ist eine algebraische Methode, die einen quadratischen Ausdruck ax² + bx + c als perfektes quadratisches Binomial plus einer Konstante in der Form a(x − h)² + k umschreibt.Die Methode funktioniert durch Addition und Subtraktion des Werts (b/(2a))² innerhalb des Ausdrucks. Dieser Wert „vervollständigt“ das Quadrat – er füllt die Lücke, die erforderlich ist, um ein perfektes quadratisches Trinom zu bilden, das in ein quadriertes Binomial zerlegt wird.
Die Vervollständigung des Quadrats dient in der Algebra und Analysis vier Hauptzwecken:
- Konvertieren Sie die Standardform in die Scheitelpunktform, um Parabeln grafisch darzustellen.
- Leiten Sie die quadratische Formel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) her.
- Lösen Sie quadratische Gleichungen, die sich der Standardfaktorisierung widersetzen, einschließlich Gleichungen mit irrationalen Koeffizienten oder komplex konjugierten Wurzeln.
- Schreiben Sie Kegelschnittgleichungen (Kreise, Ellipsen, Hyperbeln) während der Integralrechnungsschritte und vor der grafischen Darstellung von Parabeln in die Standardform um.
Der Begriff „das Quadrat vervollständigen“ stammt aus der Geometrie. Ein quadratisches x² + bx stellt ein Quadrat (Fläche x²) dar, das an ein Rechteck (Fläche bx) angeschlossen ist. Wenn Sie das Rechteck teilen und die Hälften neu anordnen, entsteht eine L-Form mit einer fehlenden Ecke. Das Füllen der Ecke – das Hinzufügen von (b/2)² – vervollständigt das vollständige Quadrat (x + b/2)².
So vervollständigen Sie das Quadrat
Um das Quadrat für ax² + bx + c zu vervollständigen, befolgen Sie diese 5 Schritte:
- Berücksichtigen Sie den führenden Koeffizienten aaus den x²- und x-Termen, wenn a ≠ 1. Schreiben Sie a(x² + (b/a)x) + c.
- Finden Sie die Hälfte des Koeffizienten von x.Der Koeffizient von x innerhalb der Klammern ist b/a. Die Hälfte von b/a ist b/(2a).
- Quadrieren Sie den Halbkoeffizienten.Berechnen Sie (b/(2a))² = b²/(4a²).
- Addiere und subtrahiere den quadrierten Wertinnerhalb der Klammern: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
- Faktorisieren Sie das perfekte quadratische Trinomund vereinfache: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Dies ist die Scheitelpunktform a(x − h)² + k, wobei h = −b/(2a) und k = c − b²/(4a).
Die schrittweise Vervollständigung des Quadratprozesses ergibt den genauen Scheitelpunkt (h, k), die Symmetrieachse x = h und die Öffnungsrichtung der Parabel (nach oben, wenn a > 0, nach unten, wenn a < 0).
Vervollständigen des Quadrats, wenn a ungleich 1 ist
Um das Quadrat zu vervollständigen, wenn a ungleich 1 ist, ist zu Beginn ein zusätzlicher Schritt erforderlich: Teilen Sie jeden Term durch a oder faktorisieren Sie a aus den ersten beiden Termen. Für nichtmonische Quadratzahlen wie 3x² − 12x + 7 funktioniert der Prozess wie folgt:
- Faktorisieren Sie a = 3 aus x²- und x-Termen: 3(x² − 4x) + 7.
- Die Hälfte von −4 ist −2. Quadrat: (−2)² = 4.
- Addiere und subtrahiere 4 in den Klammern: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
- Faktorisieren Sie das Trinom und verteilen Sie: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.
Scheitelpunkt: (2, −5). Die Parabel öffnet sich nach oben, weil a = 3 > 0. Wenn der Leitkoeffizient negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten und der Scheitelpunkt ist ein Maximalpunkt statt eines Minimums.
Häufiger Fehler: Vergessen, den subtrahierten Wert mit a zu multiplizieren, wenn der Korrekturterm außerhalb der Klammern verschoben wird. Im obigen Beispiel wird die −4 in den Klammern nach der Verteilung des Faktors 3 zu −12 (nicht −4).
Das Quadrat vervollständigen, wenn b 0 ist
Das Vervollständigen des Quadrats, wenn b 0 ist, ergibt den einfachsten Fall. Die quadratische Gleichung ax² + c hat keinen linearen Term, daher ist keine Quadratvervollständigung erforderlich. Die Gleichung liegt bereits in Scheitelpunktform vor: a(x − 0)² + c.
Der Scheitelpunkt liegt bei (0, c) und die Symmetrieachse ist x = 0 (die y-Achse). Die Wurzeln, falls vorhanden, sind x = ±√(−c/a). Reale Wurzeln existieren, wenn −c/a ≥ 0. Beispielsweise hat x² − 9 = 0 Wurzeln x = ±3, weil −(−9)/1 = 9 und √9 = 3.
Wenn b = 0 und c > 0 mit a > 0, ist die Diskriminante Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0 und die Gleichung hat zwei komplex konjugierte Wurzeln: x = ±i√(c/a).
Können Sie das Quadrat immer vervollständigen?
Ja, die Quadratvervollständigung funktioniert für jeden quadratischen Ausdruck ax² + bx + c, bei dem a ≠ 0.Die Methode hängt nicht von der Diskriminante, dem Vorzeichen der Koeffizienten oder davon ab, ob die Wurzeln reell oder komplex sind. Das Vervollständigen des Quadrats gelingt für:
- Perfekte quadratische Trinome wie x² + 6x + 9 = (x + 3)².
- Gleichungen ohne echte Wurzeln, wie z. B. x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, wobei die Wurzeln komplex sind: x = −1 ± 2i.
- Gleichungen mit irrationalen Koeffizienten oder Bruchwerten, einschließlich der Ergänzung des Quadrats mit Brüchen, Rechnerszenarien wie x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4.
- Gleichungen mit einem negativen führenden Koeffizienten wie −2x² + 8x − 3.
Die einzige Einschränkung ist a ≠ 0. Wenn a = 0, wird der Ausdruck linear (bx + c) und ist nicht quadratisch.
Schließe die quadratischen Schritte ab
Die Schritte zum Vervollständigen der Quadrate wandeln jedes Quadrat von der Standardform in die Scheitelpunktform um. Hier ist das vollständige Verfahren für ax² + bx + c:
| Schritt | Aktion | Ergebnis |
|---|---|---|
| 1 | Faktorisieren Sie a aus x²- und x-Termen | a(x² + (b/a)x) + c |
| 2 | Finden Sie den halben Koeffizienten von x | b/(2a) |
| 3 | Quadrieren Sie den Halbkoeffizienten | b²/(4a²) |
| 4 | Addieren und subtrahieren Sie in Klammern | a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c |
| 5 | Faktorisieren und vereinfachen | a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a) |
Der Scheitelpunkt ist (h, k), wobei h = −b/(2a) und k = c − b²/(4a). Die Symmetrieachse ist die Vertikale x = h.
Das Quadrat vervollständigen: 5 einfache Schritte
Vervollständigen Sie Quadrate Schritt für Schritt mit dieser vereinfachten Methode für Standardquadratika (wenn a = 1):
- Schreiben Sie die Gleichungals x² + bx = −c (verschieben Sie die Konstante auf die rechte Seite).
- Halbieren Sie den x-Koeffizienten:Berechnen Sie b/2.
- Quadrieren Sie das Ergebnis:Berechnen Sie (b/2)².
- Addiere (b/2)² auf beiden Seitender Gleichung: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
- Faktorisieren Sie die linke Seiteals (x + b/2)² und lösen Sie nach x auf: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).
Für x² + 10x + 21 = 0: Verschiebe 21 → x² + 10x = −21. Die Hälfte von 10 = 5. Quadrat: 25. Addiere: x² + 10x + 25 = 4. Faktor: (x + 5)² = 4. Wurzeln: x = −5 ± 2, was x = −3 und x = −7 ergibt.
Vervollständigen Sie die Formel „Quadrat vs. Quadratisch“.
Die quadratische Formel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) ergibt sich direkt aus der Quadratvervollständigung. Beide Methoden lösen jede quadratische Gleichung, dienen jedoch unterschiedlichen Zwecken:
| Besonderheit | Vervollständigen Sie das Quadrat | Quadratische Formel |
|---|---|---|
| Ausgabe | Scheitelpunktform + Wurzeln | Nur Wurzeln |
| Scheitelpunkt (h, k) | Direkt sichtbar | Erfordert zusätzliche Berechnung |
| Geschwindigkeit für Wurzeln | 5 Schritte | 1 Auswechslung |
| Dienstprogramm zur grafischen Darstellung | Hoch – gibt die Scheitelpunktform an | Niedrig – gibt nur Wurzeln |
| SAT/ACT-Nutzung | Erforderlich für Scheitelpunktfragen | Bevorzugt für reine Root-Fragen |
| Konische Abschnitte | Erforderlich | Nicht zutreffend |
Verwenden Sie die vollständige Quadratmethode, wenn das Ziel darin besteht, die Scheitelpunktform zu finden, eine Parabel grafisch darzustellen, Kegelschnittgleichungen in die Standardform umzuwandeln oder Optimierungsprobleme zu lösen. Verwenden Sie die quadratische Formel, wenn das Ziel darin besteht, schnell Wurzeln zu finden, ohne den Scheitelpunkt zu benötigen. Online-Algebra-Rechner wie Wolfram Alpha, Symbolab, Mathway, Desmos und GeoGebra bieten beide Methoden. Der vollständige Quadratrechner auf dieser Seite bietet sowohl die Konvertierung der Scheitelpunktform als auch der Wurzeln in einer einzigen Lösung.
Vervollständigen Sie das quadratische Diagramm
Das vollständige quadratische Diagramm zeigt den geometrischen Beweis hinter der algebraischen Methode. Das Diagramm besteht aus 4 Stufen:
- Beginnen Sie mit x² + bx.Zeichnen Sie ein Quadrat mit der Seitenlänge x (Fläche = x²) und ein Rechteck mit den Abmessungen x × b (Fläche = bx). Gesamtfläche = x² + bx.
- Teilen Sie das Rechteck.Schneiden Sie das bx-Rechteck in zwei gleiche Stücke mit den Abmessungen x × (b/2). Fläche jedes Stücks = bx/2.
- In eine L-Form umordnen.Platzieren Sie ein Stück auf der rechten Seite des x²-Quadrats und das andere unter dem x²-Quadrat. Die Anordnung bildet eine L-Form mit einer fehlenden Ecke.
- Füllen Sie die Ecke.Die fehlende Ecke ist ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge b/2 und der Fläche (b/2)². Durch Hinzufügen des Eckstücks entsteht ein größeres Quadrat mit der Seitenlänge (x + b/2) und der Gesamtfläche (x + b/2)².
Das vollständige Quadratdiagramm beweist, dass x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². Der geometrische Beweis macht die Algebra sichtbar – die Aktion „Vervollständigen“ füllt buchstäblich ein fehlendes Quadrat im Diagramm. Der interaktive visuelle Beweisbereich über diesem Rechner animiert alle vier Phasen mit beschrifteten Abmessungen.