완료제곱 계산기

제곱 계산기 완성 작동 방식

완성 제곱 계산기를 사용하려면 2차 방정식 ax² + bx + c = 0에서 3개의 계수 a, b, c를 입력합니다. 계산기는 5가지 작업을 수행합니다.

1. a ≠ 1인 경우 모든 항을 선행 계수 a로 나눕니다.
2. 상수항을 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다.
3. (b/2a)²를 계산하고 양쪽에 값을 더합니다.
4. 좌변을 완전제곱 이항식 (x + b/2a)²으로 인수분해합니다.
5. 방정식을 정점 형식 a(x − h)² + k로 다시 작성합니다. 여기서 h = −b/(2a) 및 k = c − b²/(4a)입니다.

제곱 계산기를 완성하면 각 대수 변환이 번호가 매겨진 단계로 표시됩니다. 기하학적 증명 캔버스는 bx 직사각형을 분할하고, 두 반쪽을 L자 모양으로 재배열하고, 누락된 모서리 정사각형(b/2a)²을 채워 완전한 정사각형을 형성하는 등 영역 모델에 애니메이션을 적용합니다. 포물선 그래프 탭에는 꼭지점, 근, 대칭축이 표시된 결과 곡선이 표시됩니다.

정사각형 공식 완성하기

완전한 정사각형 공식은 2개의 핵심 ID를 통해 ax² + bx + c를 정점 형태로 변환합니다.

이 항등식은 왼쪽에 완전제곱 삼항식을 만듭니다. 일반 2차 ax² + bx + c의 경우 제곱 공식을 완성하면 다음이 생성됩니다.

정점은 h = −b/(2a) 및 k = c − b²/(4a)에 위치합니다. 대칭축은 수직선 x = h입니다. 판별식 Δ = b² − 4ac는 근의 수와 유형을 결정합니다. Δ > 0은 2개의 서로 다른 실수 근을 제공하고, Δ = 0은 1개의 반복 근을 제공하고, Δ < 0은 2개의 복소수 근을 제공합니다.

정사각형 예를 완성하세요

예 1: x² + 6x + 5 = 0

1. 선행 계수 a = 1이므로 나누기가 필요하지 않습니다.
2. 상수를 이동합니다: x² + 6x = −5.
3. b의 절반은 6/2 = 3입니다. 결과를 제곱합니다: 3² = 9. 양쪽에 9를 더합니다: x² + 6x + 9 = −5 + 9.
4. 인수: (x + 3)² = 4.
5. 정점 형태: (x + 3)² − 4. 정점: (−3, −4). 근: x = −3 ± 2이므로 x = −1이고 x = −5입니다.

예시 2: 2x² + 8x + 3 = 0

1. a = 2로 나누기: x² + 4x + 1.5 = 0.
2. 이동 상수: x² + 4x = −1.5.
3. 4의 절반은 2입니다. 제곱: 2² = 4. 4를 더합니다: x² + 4x + 4 = −1.5 + 4 = 2.5.
4. 인수: (x + 2)² = 2.5.
5. 다시 2를 곱합니다: 2(x + 2)² − 5. 정점: (−2, −5). 근: x = −2 ± √(2.5) ≒ −0.42 및 −3.58.

예시 3: x² − 4x + 4 = 0

1. a = 1, 나누기가 필요하지 않습니다.
2. 이동 상수: x² − 4x = −4.
3. −4의 절반은 −2입니다. 정사각형: (−2)² = 4. 4를 더합니다: x² − 4x + 4 = 0.
4. 인수: (x − 2)² = 0.
5. 정점 형태: (x − 2)². 정점: (2, 0). 하나의 반복 근: x = 2. 판별기 Δ = 0.

광장을 완성한다는 것은 무엇입니까?

완전제곱식은 2차 표현식 ax² + bx + c를 a(x − h)² + k 형식의 완전제곱식 이항식과 상수로 다시 작성하는 대수적 방법입니다.이 방법은 표현식 내에서 (b/(2a))² 값을 더하고 빼는 방식으로 작동합니다. 이 값은 제곱을 "완성"합니다. 즉, 제곱 이항식을 인수분해하는 완전 제곱 삼항식을 형성하는 데 필요한 간격을 채웁니다.

정사각형을 완성하는 것은 대수학과 미적분학에서 4가지 주요 목적을 제공합니다:

• 포물선 그래프를 작성하기 위해 표준 형식을 정점 형식으로 변환합니다.
• 2차 공식 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)를 도출합니다.
• 무리수 계수 또는 복소수 켤레 근이 있는 방정식을 포함하여 표준 인수분해에 저항하는 2차 방정식을 풀어보세요.
• 미적분 적분 단계 동안과 포물선 그래프를 작성하기 전에 원뿔 단면 방정식(원, 타원, 쌍곡선)을 표준 형식으로 다시 작성합니다.

"완전한 정사각형"이라는 용어는 기하학에서 유래되었습니다. 2차 x² + bx는 직사각형(면적 bx)에 연결된 정사각형(면적 x²)을 나타냅니다. 직사각형을 분할하고 절반을 다시 배열하면 모서리가 누락된 L자 모양이 만들어집니다. 모서리 채우기 - (b/2)² 추가 - 완전한 정사각형 (x + b/2)²를 완성합니다.

광장을 완성하는 방법

ax² + bx + c에 대한 제곱을 완성하려면 다음 5단계를 따르세요.

1. 최고차 계수 a를 인수분해합니다.a ≠ 1인 경우 x² 및 x 항에서 a(x² + (b/a)x) + c를 씁니다.
2. x 계수의 절반을 구합니다.괄호 안의 x 계수는 b/a입니다. b/a의 절반은 b/(2a)입니다.
3. 반계수를 제곱합니다.(b/(2a))² = b²/(4a²)를 계산합니다.
4. 제곱된 값을 더하고 뺍니다.괄호 안: a(x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²)) + c.
5. 완전제곱 삼항식 인수분해그리고 단순화합니다: a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). 이는 정점 형식 a(x − h)² + k입니다. 여기서 h = −b/(2a) 및 k = c − b²/(4a)입니다.

제곱 프로세스를 단계별로 완료하면 정확한 꼭지점(h, k), 대칭축 x = h 및 포물선이 열리는 방향(a > 0일 때 위쪽, a < 0일 때 아래쪽)이 생성됩니다.

a가 1이 아닐 때 제곱 완성하기

a가 1이 아닐 때 제곱을 완성하려면 처음에 1개의 추가 단계가 필요합니다. 모든 항을 a로 나누거나 처음 2개의 항에서 a를 인수분해합니다. 3x² − 12x + 7과 같은 비모닉 이차식의 경우 프로세스는 다음과 같이 작동합니다.

1. x² 및 x 항에서 a = 3을 인수분해합니다: 3(x² − 4x) + 7.
2. −4의 절반은 −2입니다. 정사각형: (−2)² = 4.
3. 괄호 안에 4를 더하고 뺍니다: 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7.
4. 삼항식을 인수분해하고 분포합니다: 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.

정점: (2, −5). a = 3 > 0이기 때문에 포물선은 위쪽으로 열립니다. 선행 계수가 음수이면 포물선은 아래쪽으로 열리고 정점은 최소점이 아닌 최대점입니다.

일반적인 오류: 수정항을 괄호 밖으로 이동할 때 빼는 값에 a를 곱하는 것을 잊었습니다. 위의 예에서 괄호 안의 -4는 인수 3을 분배한 후 -12(-4가 아님)가 됩니다.

b가 0일 때 정사각형 완성하기

b가 0일 때 제곱을 완성하면 가장 간단한 경우가 생성됩니다. 2차 ax² + c에는 선형 항이 없으므로 제곱 완성이 필요하지 않습니다. 방정식은 이미 꼭짓점 형식인 a(x − 0)² + c입니다.

정점은 (0, c)에 있고 대칭축은 x = 0(y축)입니다. 근이 존재하는 경우 x = ±√(−c/a)입니다. 실수 근은 −c/a ≥ 0일 때 존재합니다. 예를 들어 x² − 9 = 0은 −(−9)/1 = 9이고 √9 = 3이기 때문에 근 x = ±3을 갖습니다.

b = 0이고 c > 0이고 a > 0인 경우 판별식 Δ = 0² − 4ac = −4ac < 0이고 방정식에는 2개의 켤레 복소수 근이 있습니다: x = ±i√(c/a).

항상 정사각형을 완성할 수 있나요?

예, 제곱을 완성하는 것은 a ≠ 0인 모든 이차 표현식 ax² + bx + c에 적용됩니다.이 방법은 판별식, 계수의 부호 또는 근이 실수인지 복소수인지 여부에 따라 달라지지 않습니다. 사각형을 완성하면 다음이 성공합니다.

• x² + 6x + 9 = (x + 3)²와 같은 완전제곱 삼항식.
• 근이 복소수인 x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4와 같이 실수 근이 없는 방정식: x = −1 ± 2i.
• x² + 3x + 1 = (x + 3/2)² − 5/4와 같은 분수 계산기 시나리오로 제곱을 완성하는 것을 포함하여 비합리적인 계수 또는 분수 값이 있는 방정식.
• −2x² + 8x − 3과 같은 음수 선행 계수가 있는 방정식.

유일한 제한은 a ≠ 0입니다. a = 0이면 표현식은 선형(bx + c)이 되고 2차식이 아닙니다.

정사각형 계단을 완료하세요

완전한 정사각형 단계는 모든 이차형을 표준 형식에서 정점 형식으로 변환합니다. ax² + bx + c에 대한 전체 절차는 다음과 같습니다.

정점은 (h, k)입니다. 여기서 h = −b/(2a)이고 k = c − b²/(4a)입니다. 대칭축은 수직선 x = h입니다.

광장 완성하기: 5가지 쉬운 단계

표준 이차식에 대해 다음과 같은 단순화된 방법을 사용하여 단계별로 정사각형을 완성합니다(a = 1인 경우).

1. 방정식을 쓰세요x² + bx = −c(상수를 오른쪽으로 이동)와 같습니다.
2. x 계수를 절반으로 줄입니다.b/2를 계산합니다.
3. 결과를 제곱합니다.(b/2)²를 계산합니다.
4. 양쪽에 (b/2)²를 추가합니다.방정식: x² + bx + (b/2)² = −c + (b/2)².
5. 좌변을 인수분해하세요.(x + b/2)²로 계산하고 x를 푼다: x = −b/2 ± √(−c + (b/2)²).

x² + 10x + 21 = 0의 경우: 21 → x² + 10x = −21로 이동합니다. 10의 절반 = 5. 제곱: 25. 더하기: x² + 10x + 25 = 4. 인수: (x + 5)² = 4. 근: x = −5 ± 2, x = −3 및 x = −7입니다.

제곱 대 2차 공식 완성하기

이차 공식 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)는 완전제곱식에서 직접 파생됩니다. 두 방법 모두 모든 이차 방정식을 풀지만 서로 다른 목적으로 사용됩니다.

꼭지점 형태 찾기, 포물선 그래프 그리기, 원뿔 단면 방정식을 표준 형태로 변환 또는 최적화 문제 해결이 목표인 경우 완전제곱법을 사용하세요. 꼭지점 없이 빠르게 근을 찾는 것이 목표인 경우 이차 공식을 사용하세요. Wolfram Alpha, Symbolab, Mathway, Desmos 및 GeoGebra와 같은 온라인 대수 계산기는 두 가지 방법을 모두 제공합니다. 이 페이지의 완전한 제곱 계산기는 단일 해결에서 정점 형태 변환과 근을 모두 제공합니다.

정사각형 다이어그램 완성하기

완전한 정사각형 다이어그램은 대수적 방법 뒤에 있는 기하학적 증명을 보여줍니다. 다이어그램에는 4단계가 있습니다.

1. x² + bx로 시작하세요.변의 길이가 x(면적 = x²)인 정사각형과 x × b(면적 = bx) 크기의 직사각형을 그립니다. 총 면적 = x² + bx.
2. 직사각형을 분할합니다.bx 직사각형을 각각 x × (b/2) 크기의 2개의 동일한 조각으로 자릅니다. 각 조각의 면적 = bx/2.
3. L자 모양으로 재배열합니다.x² 정사각형의 오른쪽에 조각 하나를 놓고 x² 정사각형 아래에 다른 조각을 놓습니다. 배열은 모서리가 없는 L자 모양을 형성합니다.
4. 구석을 채우세요.누락된 모서리는 변의 길이가 b/2이고 면적이 (b/2)²인 작은 정사각형입니다. 모서리 조각을 추가하면 변 길이(x + b/2)와 총 면적(x + b/2)²를 갖는 더 큰 정사각형이 완성됩니다.

완전한 정사각형 다이어그램은 x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²임을 증명합니다. 기하학적 증명은 대수학을 가시화합니다. "완성" 작업은 문자 그대로 다이어그램에서 누락된 사각형을 채우는 것입니다. 이 계산기 위의 대화형 시각적 교정 섹션은 레이블이 지정된 치수로 4단계 모두에 애니메이션을 적용합니다.